ข้อสอบ PAT1 - มีนาคม 60 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

$จากโจทย์ f (x) = 2 x + 5 แสดงว่า y = 2 x + 5 หา f^{- 1} (x) \to เปลี่ยน x เป็น y และ y เป็น x จะได้ x = 2 y + 5 y = \frac{x - 5}{2} ดังนั้น f^{- 1} (x) = \frac{x - 5}{2} \to 1$

$จากโจทย์ g (x) = a x^{2} + b x + c \to 2 แทน x = 0 g (0) = a {(0)}^{2} + b (0) + c g (0) = c จากโจทย์ (f^{- 1} \circ g) (0) = 2 แสดงว่า f^{- 1} (g (0)) = 2; แทน g (0) = c f^{- 1} (c) = 2 จาก 1 จะได้ \frac{c - 5}{2} = 2 c - 5 = 4 c = 9; แทนใน 2 จาก 2 จะได้ g (x) = a x^{2} + b x + 9 \to 3$

$จาก 1 f^{- 1} (x) = \frac{x - 5}{2} หาค่า f^{- 1} (g (x)) = \frac{g (x) - 5}{2} = \frac{(a x^{2} + b x + 9) - 5}{2} = \frac{a x^{2} + b x + 4}{2} = \frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x}{2} + 2 \to 4$

$จากโจทย์ \int_{0}^{1} f^{- 1} (g (x)) d x = 1 \int_{0}^{1} (\frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x}{2} + 2) d x = 1 {\frac{a}{2} \frac{x^{3}}{3} + \frac{b}{2} \frac{x^{2}}{2} + 2 x}_{0}^{1} = 1 [\frac{a}{6} {(1)}^{3} + \frac{b}{4} {(1)}^{2} + 2 (1)] - [\frac{a}{6} {(0)}^{2} + \frac{b}{4} {(0)}^{2} + 2 (0)] = 1 (\frac{a}{6} + \frac{b}{4} + 2) - 0 = 1 2 a + 3 b = - 12 \to 5$

$จากโจทย์ (f^{- 1} \circ g) (x) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x = 1 แสดงว่า {\frac{d}{d x} (f^{- 1} \circ g) (x)}_{x = 1} = 0 \frac{d}{d x} [f^{- 1} (g (1))] \cdot g' (1) = 0 \to 6$

$หา g' (1) จาก 3 g (x) = a x^{2} + b x + 9; ดิฟทั้ง 2 ข้าง g' (x) = 2 a x + b แทน x = 1 g' (1) = 2 a (1) + b g' (1) = 2 a + b; แทนใน 6 หา \frac{d}{d x} [f^{- 1} (g (1))]$
$จาก 4 f' (g (x)) = \frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x}{2} + 2 จะได้ \frac{d}{d x} [f^{- 1} (g (x))] = \frac{d}{d x} (\frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x}{2} + 2) = 2 \cdot \frac{a}{2} x + \frac{b}{2} = a x + \frac{b}{2} แทน x = 1 \frac{d}{d x} [f^{- 1} (g (1))] = a (1) + \frac{b}{2} = a + \frac{b}{2}; แทนใน 6$

$จาก 6 จะได้ (a + \frac{b}{2}) (2 a + b) = 0; คูณ 2 ทั้ง 2 ข้าง 2 (a + \frac{b}{2}) (2 a + b) = 2 (0) (2 a + b) (2 a + b) = 0 2 a + b = 0 \to 7$

$- จาก 5, 7 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ a = 3, b = - 6 จาก 3 จะได้ g (x) = 3 x^{2} - 6 x + 9 ดังนั้น g (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 (1) + 9 g (1) = 6$