ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2564

ข้อ 9

กำหนดพาราโบลามีโฟกัสอยู่ที่จุด $(8, 1)$ และ $x = 10$ เป็นเส้นไดเรกตริกซ์

ให้ $P_{1}$ และ $P_{2}$ เป็นจุดตัดของพาราโบลากับแกน $Y$

ถ้า $E$ เป็นวงรีที่ผ่านจุด $(8, 1)$ และมีโฟกัสอยู่ที่จุด $P_{1}$ และ $P_{2}$

แล้วความยาวแกนเอกของวงรี $E$ เท่ากับเท่าใด

1
$10$
2
$12$
3
$16$
4
$20$
5
$22$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ พาราโบลามีโฟกัสอยู่ที่จุด (8, 1) และ x = 10 เป็นเส้นไดเรกตริกซ์ จะได้ F (8, 1), ไดเรกตริกซ์ x = 10$

$จะได้ จุดยอด (V) = (\frac{8 + 10}{2}, 1) V = (9, 1) โดย ค่าคงที่ (C) = 8 - 9 C = - 1 (ติดลบเพราะพาราโบลาเปิดซ้าย) สูตรพาราโบลา (แกนสมมาตรขนานแกน x) คือ {(y - k)}^{2} = 4 c (x - h) \to 1$

$จาก (h, k) = V = (9, 1), c = 1 แทนใน 1 จาก 1 {(y - k)}^{2} = 4 c (x - h) {(y - 1)}^{2} = 4 (- 1) (x - 9) {(y - 1)}^{2} = - 4 (x - 9) \to 2 จากโจทย์ P_{1} และ P_{2} เป็นจุดตัดของพาราโบลากับแกน Y หาจุดตัดกับแกน Y \to แทน x = 0 แทน x = 0 ใน 2$

$จะได้ {(y - 1)}^{2} = - 4 (0 - 9) {(y - 1)}^{2} = 36 y - 1 = 6, - 6 y = 6 + 1, - 6 + 1 y = 7, - 5 แสดงว่า P_{1} = (0, 7) และ P_{2} = (0, - 5)$

$จากโจทย์ E เป็นวงรีที่ผ่านจุด (8, 1) และมีโฟกัสอยู่ที่จุด P_{1}, P_{2} จะได้ วงรี E; F_{1} = P_{1} = (0, 7), F_{2} = P_{2} = (0, - 5) จุดยอด = V_{1} = (0, \frac{7 + (- 5)}{2}) = (0, 1)$

$แสดงว่า b = 8 - 0 = 8 c = 7 - 1 = 6 โดย c^{2} = a^{2} - b^{2} 6^{2} = a^{2} - 8^{2} a = 10 ดังนั้น ความยาวแกนเอกของวงรี E = 2 a = 2 (10) = 20$

ข้อถัดไป