ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 16

กำหนดให้ $f (x) = \log (\frac{1 + x}{1 - x})$ เมื่อ $- 1 < x < 1$

ถ้า $\int f (x) d x = A$ แล้ว $\int f (\frac{2 x}{1 + x^{2}}) d x$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$A^{2}$
2
$- A^{2}$
3
$2 A$
4
$- 2 A$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = \log (\frac{1 + x}{1 - x}) f (k) = \log (\frac{1 + k}{1 - k}) กำหนดให้ k = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$
$จะได้ f (\frac{2 x}{1 + x^{2}}) = \log (\frac{1 + \frac{2 x}{1 + x^{2}}}{1 - \frac{2 x}{1 + x^{2}}}) = \log [\frac{\frac{(1 + x^{2}) + 2 x}{(1 + x^{2})}}{\frac{(1 + x^{2}) - 2 x}{(1 + x^{2})}}]$
$= \log (\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 2 x + 1}) = \log [\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}] = \log {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} = \log {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2} = 2 \log (\frac{1 + x}{1 - x}); โดย f (x) = \log (\frac{1 + x}{1 - x})$

$จะได้ f (\frac{2 x}{1 + x^{2}}) = 2 f (x) ดังนั้น \int f (\frac{2 x}{1 + x^{2}}) dx = \int 2 f (x) dx = 2 \int f (x) dx; จากโจทย์ \int f (x) dx = A = 2 A$