ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

ข้อ 16

กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้า a, b และ c เป็นความยาวด้านของด้านตรงข้ามมุม A มุม B และ มุม C ตามลำดับ โดยที่ $\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c} = \frac{3}{a + b + c}$ แล้ว $\sin C$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
2
$\frac{1}{2}$
3
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
4
1

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตร cosin c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 abcos C \to 1 จากโจทย์ \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c} = \frac{3}{a + b + c} - คูณ a + b + c ทั้ง 2 ข้าง; จะได้ (a + b + c) (\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}) = (a + b + c) (\frac{3}{a + b + c}) \frac{a + b + c}{a + c} + \frac{a + b + c}{b + c} = 3 \frac{(a + c) + b}{a + c} + \frac{(b + c) + a}{b + c} = 3$
$1 + \frac{b}{a + c} + 1 + \frac{a}{b + c} = 3 \frac{b}{a + c} + \frac{a}{b + c} = 1 \frac{b (b + c) + a (a + c)}{(a + c) (b + c)} = 1 b (b + c) + a (a + c) = (a + c) (b + c) b^{2} + bc + a^{2} + ac = ab + ac + bc + c^{2} b^{2} + a^{2} - ab = c^{2}$

$จาก 1 จะได้ b^{2} + a^{2} - ab = a^{2} + b^{2} - 2 abcos C - ab = - 2 abcos C \frac{1}{2} = \cos C C = 60 ° ดังนั้น \sin C = \sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$