ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

ข้อ 17

กำหนดให้ $z_{1}$ และ $z_{2}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ $z^{2} - 3 z + 4 = 0$ ค่าของ $({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) (\frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}})$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จาก {ax}^{2} + bx + c = 0 สูตร x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a} โดย x_{1}, x_{2} เป็นรากของสมการ {ax}^{2} + bx + c = 0 จะได้ x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a} ดังนั้น x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

$จากโจทย์ z^{2} - 3 z + 4 = 0 แสดงว่า z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{(- 3)}{1} z_{1} + z_{2} = 3 z_{1} \cdot z_{2} = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} z_{1} \cdot z_{2} = 4 \to 1 โดย z_{2} = \bar{z_{1}} จะได้ |z_{2}| = |\bar{z_{1}}| = |z_{1}| \to 2$

$จาก 1 z_{1} \cdot z_{2} = 4 z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = 4 {|z_{1}|}^{2} = 4 จาก 2 {|z_{1}|}^{2} = 4 ดังนั้น ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) (\frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}}) = (4 + 4) (\frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} z_{2}}) = 8 (\frac{3}{4}) = 6$