ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2563

$$\begin{gathered} \mathrm{ให้} z = x+yi \\ \mathrm{จะได้} z-\left(1+i\right) = \left(x+yi\right)-\left(1+i\right) \\ = \left(x-1\right)+\left(y-1\right)i \\ \mathrm{โจทย์ให้} z \mathrm{เป็นจำนวนจินตภาพแท้} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{ส่วนจริง} x-1 \mathrm{ต้องเป็น} 0 \\ x = 1 \\ z = 1+yi \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} z^2-2{\left(1+i\right)}^2 = {\left(1+yi\right)}^2-2{\left(1+i\right)}^2 \\ = +2yi-y^2-2\left(1+2i-1\right) \\ = 1-y^2+\left(2y-4\right)i \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{โจทย์ให้} z^2-2{\left(1+i\right)}^2 \mathrm{เป็นจำนวนจริง} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{ส่วนจินตภาพ} 2y-4 \mathrm{ต้องเป็น} 0 \\ y = 2 \\ \mathrm{ดังนั้น} z\overline{z} = \left(1+2i\right)\left(1-2i\right) \\ = 1^2+2^2 = 5 \to \mathrm{ตอบ} 4 \end{gathered}$$