ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2560

ข้อ 31

ให้ $A$ เป็นเซตของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ $\log_{2} x + \log_{3} x \geq (\log_{2} x) (\log_{3} x)$ และให้ $a$ เป็นขอบเขตล่างมากที่สุดของเซต $A \cap [0, 9]$ และให้ $b$ เป็นขอบเขตบนน้อยที่สุดของเซต $A \cap [0, 9]$ ค่าของ $a + b$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$สมบัติ \log \log_{n} m = \frac{\log m}{\log n} \log m n = \log m + \log n$

$จากโจทย์ \log_{2} x + \log_{3} x \geq (\log_{2} x) (\log_{3} x) \frac{\log x}{\log 2} + \frac{\log x}{\log 3} \geq (\frac{\log x}{\log 2}) (\frac{\log x}{\log 3}) \frac{\log x}{\log 2} (\frac{\log 3}{\log 3}) + \frac{\log x}{\log 3} (\frac{\log 2}{\log 2}) \geq (\frac{\log x}{\log 2}) (\frac{\log x}{\log 3}) \frac{(\log x) (\log 3) + (\log x) (\log 2)}{(\log 2) (\log 3)} \geq \frac{{(\log x)}^{2}}{(\log 2) (\log 3)} \to 1$

$- แต่ \log 2 > 0 และ \log 3 > 0 จะได้ (\log 2) (\log 3) > 0 - คูณ (\log 2) (\log 3) ทั้ง 2 ข้างอสมการ [เครื่องหมายอสมการคงเดิม เนื่องจาก (\log 2) (\log 3) > 0]$

$จาก 1 จะได้ (\log x) (\log 3) + (\log x) (\log 2) \geq {(\log x)}^{2} \log x [\log 3 + \log 2] \geq {(\log x)}^{2} - ห้ามตัด \log x ออกจากทั้ง 2 ข้างของอสมการ เนื่องจากไม่ทราบว่า \log x < 0 หรือ \log x > 0 จะได้ 0 \geq {(\log x)}^{2} - \log x [\log 3 + \log 2] 0 \geq \log x [\log x - (\log 3 + \log 2)] 0 \geq \log x [\log x - \log 6] \log x [\log x - \log 6] \leq 0$

$โดย \log x = 0, \log x - \log 6 = 0 \log x = \log 6$

$แสดงว่า \log x = [0, \log 6] 0 \leq \log x \leq \log 6 \log_{10} 1 \leq \log_{10} x \leq \log_{10} 6 จะได้ 1 \leq x \leq 6$

$จากโจทย์ A เป็นเซตของจำนวนจริง x ทั้งหมด จะได้ A = [1, 6] โดย A \cap [0, 9] = [1, 6] \cap [0, 9] = [1, 6]$

$จากโจทย์ a เป็นขอบเขตล่างมากที่สุดของเซต A \cap [0, 9] จะได้ a = 1 จากโจทย์ b เป็นขอบเขตบนน้อยที่สุดของเซต A \cap [0, 9] จะได้ b = 6 ดังนั้น a + b = 1 + 6 = 7$