ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 6

ถ้า $A$ เป็นเซตคำตอบของอสมการ $\log_{3} (4^{x} + 137) < 2 + \log_{3} (1 + 2^{x + 2})$

แล้ว $A$ เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้

1
$(- \infty, 0)$
2
$(- 2, 2)$
3
$(1, 6)$
4
$(3, 8)$
5
$(6, \infty)$

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม a > 1 ถ้า \log_{a} m < \log_{a} n จะได้ m < n \to 1 จากโจทย์ \log_{3} (4^{x} + 137) < 2 + \log_{3} (1 + 2^{x + 2}) พยายามทำฐาน \log ให้เท่ากัน; \log_{3} (4^{x} + 137) < 2 \log_{3} 3 + \log_{3} (1 + 2^{x + 2}) {alog}_{n} m = \log_{n} m^{a}; \log_{3} (4^{x} + 137) < \log_{3} 3^{2} + \log_{3} (1 + 2^{x + 2})$

$logm + logn = logmn; \log_{3} (4^{x} + 137) < \log_{3} 3^{2} (1 + 2^{x + 2}) \log_{3} (4^{x} + 137) < \log_{3} 9 (1 + 2^{x + 2}) จาก 1 จะได้ 4^{x} + 137 < 9 (1 + 2^{x + 2})$
$4^{x} + 137 < 9 + 9 \cdot 2^{x + 2} 4^{x} + 137 < 9 + 9 \cdot 2^{2} \cdot 2^{x} {(2^{2})}^{x} - 9 \cdot 2^{2} \cdot 2^{x} + 128 < 0 {(2^{x})}^{2} - 36 \cdot 2^{x} + 128 < 0 (2^{x} - 4) (2^{x} - 32) < 0$

$จะได้ 2^{x} - 4 = 0 หรือ 2^{x} - 32 = 0 2^{x} = 4 2^{x} = 32 2^{x} = 2^{2} 2^{x} = 2^{5} x = 2 x = 5 - จากอสมการ นำมาเขียนเส้นจำนวน$

$ดังนั้น เซตคำตอบอสมการคือ (2, 5) จากโจทย์ A เป็นเซตคำตอบของอสมการ จะได้ A = (2, 5) แสดงว่า A \subset (1, 6)$