ข้อสอบ PAT1 - ตุลาคม 2559 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

ข้อ 7

กำหนดให้ $𝑓$ และ $𝑔$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่
$𝑓 (x) = \{\begin{cases} x + 1, - 1 < x < 1 \\ 3, x \geq 1 \end{cases}$ และ $𝑔 (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ เมื่อ $- 1 < x < 1$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $(𝑓 \circ 𝑔) (x) = 3$ สำหรับทุก $x \in (- 1, 1)$

(ข) $(𝑓 𝑔) (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 1$ สำหรับทุก $x \in (- 1, 1)$

(ค) $(\frac{𝑓}{𝑔}) (x) = (x + 1) \sqrt{1 - x^{2}}$ สำหรับทุก $x \in (- 1, 1)$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

เฉลยข้อสอบ

$(ก) จากโจทย์ x \in (- 1, 1) จะได้ - 1 < x < 1; ยกกำลัง 2 ตลอด 0 \leq x^{2} < 1; คูณ - 1 ตลอด 0 \geq - x^{2} > - 1; บวก 1 ตลอด 1 \geq 1 - x^{2} > 0; ใส่ \sqrt{} ตลอด 1 \geq \sqrt{1 - x^{2}} > 0; หาร \sqrt{1 - x^{2}} ตลอด \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \geq 1 > 0$

$จะได้ \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \geq 1 g (x) \geq 1 จากโจทย์ f (x) = 3; x \geq 1 จะได้ f (g (x)) = 3; g (x) \geq 1 โดย (fog) (x) = f (g (x)); ดังนั้น (fog) (x) = 3 ข้อ (ก) ถูก$

$(ข) เนื่องจาก D_{f} \cap D_{g} = (- 1, 1) จะได้ x \in D_{f} \cap D_{g} = (- 1, 1) จากโจทย์ (fg) (x) = f (x) g (x) = (x + 1) (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} ข้อ (ข) ผิด$

$(ค) เนื่องจาก D_{f} \cap D_{g} = (- 1, 1) จะได้ x \in D_{f} \cap D_{g} = (- 1, 1) จากโจทย์ (\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{x + 1}{\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}} = (x + 1) \sqrt{1 - x^{2}} ข้อ (ค) ถูก$