ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

ข้อ 18

กำหนดให้ $a_{n} = \sin (n π - \frac{π}{2}) - \cos n π$ สำหรับ $n = 1, 2, 3, . . .$ และ $b_{n} = 6 \cos (2 n π - \frac{π}{3})$ สำหรับ $n = 1, 2, 3, . . .$

ผลบวกของอนุกรม $\frac{a_{1}}{b_{1}} + {(\frac{a_{2}}{b_{2}})}^{2} + {(\frac{a_{3}}{b_{3}})}^{3} + . . . + {(\frac{a_{n}}{b_{n}})}^{n} + . . .$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{2}{5}$
2
$- \frac{2}{5}$
3
$2$
4
$- 2$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n} = \sin (nπ - \frac{π}{2}) - \cos nπ แทน n = 1 a_{1} = \sin \frac{π}{2} - \cos π = 1 - (- 1) = 2 แทน n = 2 a_{2} = \sin \frac{3 π}{2} - \cos 2 π = - 1 - 1 = - 2 แทน n = 3 a_{3} = \sin \frac{5 π}{2} - \cos 3 π = 1 - (- 1) = 2 แทน n = 4 a_{4} = \sin \frac{7 π}{2} - \cos 4 π = - 1 - 1 = - 2 แสดงว่า a_{1} = a_{3} = a_{5} = . . . a_{2} = a_{4} = a_{4} = . . .$

$จากโจทย์ b_{n} = 6 \cos (2 nπ - \frac{π}{3}) แทน n = 1 b_{1} = 6 \cos \frac{5 π}{3} = 6 \cos (2 π - \frac{π}{3}) = 6 \cos \frac{π}{3} = 6 (\frac{1}{2}) = 3 แทน n = 2 b_{2} = 6 \cos \frac{11 π}{3} = 6 \cos (4 π - \frac{π}{3}) = 6 \cos \frac{π}{3} = 6 (\frac{1}{2}) = 3 แสดงว่า b_{1} = b_{2} = b_{3} = . . . = b_{n}$

$ดังนั้น \frac{a_{1}}{b_{1}} + {(\frac{a_{2}}{b_{2}})}^{2} + {(\frac{a_{3}}{b_{3}})}^{3} + . . . + {(\frac{a_{n}}{b_{n}})}^{n} + . . . = (\frac{2}{3}) + {(\frac{- 2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{3} + {(\frac{- 2}{3})}^{4} + . . . = (\frac{2}{3}) + {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{3} + {(\frac{2}{3})}^{4} + . . . \to 1 แสดงว่า a = \frac{2}{3}, r = \frac{2}{3}$

$- สูตรอนุกรมอนันต์ของเรขาคณิต S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} โดย |r| < 1$

$จาก 1 \frac{a_{1}}{b_{1}} + {(\frac{a_{2}}{b_{2}})}^{2} + {(\frac{a_{3}}{b_{3}})}^{3} + . . . + {(\frac{a_{n}}{b_{n}})}^{n} = (\frac{2}{3}) + {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{3} + {(\frac{2}{3})}^{4} + . . . = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = 2 ดังนั้น \frac{a_{1}}{b_{1}} + {(\frac{a_{2}}{b_{2}})}^{2} + {(\frac{a_{3}}{b_{3}})}^{3} + . . . + {(\frac{a_{n}}{b_{n}})}^{n} = 2$