ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

ข้อ 19

กำหนดให้ $f (x) = x^{3} - 26 x^{2} + bx - 216$ เมื่อ b เป็นจำนวนจริง

ถ้า $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ เป็นจำนวนจริงสามจำนวนเรียงกันแบบลำดับเรขาคณิต และเป็นคำตอบของสมการ $f (x) = 0$ แล้วค่าของ $f' (1)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
211
2
107
3
101
4
85

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$P (x) = {ax}^{3} + {bx}^{2} + cx + d โดย x_{1}, x_{2}, x_{3} เป็นรากของสมการ P (x) = 0 จะได้ x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a} x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$

$จากโจทย์ f (x) = x^{3} - 26 x^{2} + bx - 216 จะได้ a_{1} + a_{2} + a_{3} = - \frac{b}{a} = - \frac{(- 26)}{1} = 26 \to 1 a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{2} a_{3} = \frac{c}{a} = \frac{b}{1} = b \to 2 a_{1} a_{2} a_{3} = - \frac{d}{a} = - \frac{(- 216)}{1} = 216 \to 3$

$จากโจทย์ a_{1}, a_{2}, a_{3} เรียงกันแบบลำดับเรขาคณิต จาก 3 a_{1} a_{2} a_{3} = 216 (\frac{a_{2}}{r}) a_{2} (a_{2} r) = 216 a_{2}^{3} = 216 a_{2} = 6 จาก 1 a_{1} + a_{2} + a_{3} = 26$
$(\frac{a_{2}}{r}) + a_{2} + (a_{2} r) = 26; แทน a_{2} = 6 จะได้ \frac{6}{r} + 6 + 6 r = 26 6 + 6 r + 6 r^{2} = 26 r 6 r^{2} - 20 r + 6 = 0 3 r^{2} - 10 r + 3 = 0 (3 r - 1) (r - 3) = 0 r = \frac{1}{3}, 3 ดังนั้น (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (2, 6, 18) หรือ (18, 6, 2)$

$จาก 1 a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{2} a_{3} = b 2 (6) + 2 (18) + 6 (18) = b 12 + 36 + 108 = b b = 156 แสดงว่า f (x) = x^{3} - 26 x^{2} + 156 x - 216 f' (x) = 3 x^{2} - 52 x^{2} + 156; แทน x = 1 ดังนั้น f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 52 {(1)}^{2} + 156 = 107$