ข้อสอบคณิต 9 สามัญ - ปี 2555

ข้อ 11

กำหนดให้ $P (x)$ เป็นพหุนามดีกรี $3$ ถ้า $x - 1, x - 2$ และ $x - 3$ ต่างก็หาร $P (x)$ แล้วเหลือเศษ $1$ และ $x - 4$ หาร $P (x)$ ลงตัว แล้ว $P (5)$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- 3$
2
$- 1$
3
$0$
4
$1$
5
$3$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ P (x) เป็นพหุนามดีกรี 3 ถ้า x - 1, x - 2 และ x - 3 ต่างก็หาร P (x) แล้วเหลือเศษ 1 จะได้ P (x) - 1 = A (x - 1) (x - 2) (x - 3) = A (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6) P (x) = A (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6) + 1 \to 1$

$จากโจทย์ x - 4 หาร P (x) ลงตัว จะได้ P (4) = 0 0 = A [4^{3} - 6 {(4)}^{2} + 11 (4) - 6] + 1 0 = A (64 - 96 + 44 - 6) + 1 0 = A (6) + 1 A = - \frac{1}{6}; แทนใน 1$

$จาก 1 จะได้ P (x) = - \frac{1}{6} (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6) + 1 ดังนั้น P (5) = - \frac{1}{6} [5^{3} - 6 (5)^{2} + 11 (5) - 6] + 1 = - \frac{1}{6} [125 - 150 + 55 - 6] + 1 = - \frac{1}{6} (24) + 1 = - 3$