ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{สุ่มหยิบลูกแก้วออกมาจากกล่อง} 8 \mathrm{ครั้ง} \\ \mathrm{ครั้งละลูกโดยไม่ต้องใส่คืน} \\ \mathrm{จะได้} n\left(S\right) = 8! \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{โจทย์ถาม} \mathrm{ความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบลูกแก้ว} 8 \mathrm{ครั้ง} \mathrm{โดยครั้งที่} 1 \\ \mathrm{ได้ลูกแก้วสีขาว}\mathrm{หรือ}\mathrm{หยิบครั้งที่} 8 \mathrm{ไม่ได้ลูกแก้วสีแดง} \\ \mathrm{จากสูตร} n\left(A\cup B\right) = n\left(A\right)+n\left(B\right)-n\left(A\cap B\right) \to \boxed{1} \\ \mathrm{กำหนดให้} A \mathrm{แทน} \mathrm{เหตุการณ์} \mathrm{ที่ครั้งที่} 1 \mathrm{หยิบได้ลูกแก้วสีขาว} \\ B \mathrm{แทน} \mathrm{เหตุการณ์} \mathrm{ที่ครั้งที่} 8 \mathrm{หยิบไม่ได้ลูกแก้วสีแดง} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}A\cap B \mathrm{แทน} \mathrm{เหตุการณ์} \mathrm{ที่คร้ังที่} 1 \mathrm{หยิบได้ลูกแก้วสีขาว} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{และ}\mathrm{ครั้งที่} 8 \mathrm{หยิบไม่ได้ลูกแก้วสีแดง} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{หา}\mathbf{ }\mathit{n}\left(\mathbf{A}\right) \\ - \mathrm{ครั้งที่} 1 \mathrm{หยิบลูกแก้วสีขาว} \mathrm{จำนวนวิธีคือ} \\ = C_{3,1} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} = \frac{3!}{2!·1!} = 3 \mathrm{วิธี} \\ - \mathrm{อีก} 7 \mathrm{ครั้ง} \mathrm{ถัดมา} \mathrm{หยิบลูกแก้วทีละลูกแบบไม่ใส่คืน} \\ \mathrm{จำนวนวิธีคือ} 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=7! \mathrm{วิธี} \\ \mathrm{ดังนั้น} n\left(A\right) = 3\times 7! \mathrm{วิธี} \\ \mathbf{หา}\mathbf{ }\mathit{n}\left(\mathbf{B}\right) \\ - \mathrm{ครั้งที่} 8 \mathrm{หยิบลูกแก้วที่ไม่ได้สีแดง} \mathrm{จำนวนวิธีคือ} \\ = C_{6,1} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}= \frac{6!}{5!·1!} = 6 \mathrm{วิธี} \\ - \mathrm{อีก} 7 \mathrm{ครั้ง} \mathrm{ก่อนหน้า} \mathrm{หยิบลูกแก้วทีละลูกแบบไม่ใส่คืน} \\ \mathrm{จำนวนวิธีคือ} 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=7! \mathrm{วิธี} \\ \mathrm{ดังนั้น} n\left(B\right) = 6\times 7! \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{หา}\mathbf{ }\mathit{n}\left(\mathbf{A}\mathbf{\cap }\mathbf{B}\right) \\ \mathrm{ครั้งที่} 1 \mathrm{หยิบได้ลูกแก้วสีขาว} \mathrm{และ}\mathrm{ครั้งที่} 8 \mathrm{หยิบไม่ได้ลูกแก้วสีแดง} \\ \mathbf{กรณีที่}\mathbf{ }\mathbf{1} : \mathrm{ครั้งที่} 1 \mathrm{หยิบได้สีขาวและครั้งที่} 8 \mathrm{หยิบได้สีขาว} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{ครั้งที่} 1 \mathrm{หยิบสีขาว} C_{3,1} = 3 \mathrm{วิธี} \\ \mathrm{ครั้งที่} 8 \mathrm{หยิบสีขาว} C_{2,1} = 2 \mathrm{วิธี} \\ \mathrm{อีก} 6 \mathrm{ครั้งที่เหลือ} \mathrm{หยิบลูกแก้วทีละลูกไม่ใส่คืน} \\ \mathrm{จำนวนวิธีคือ} 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=6! \mathrm{วิธี} \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{จำนวนวิธีมี} 3\times 2\times 6! = 6\times 6! \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{กรณีที่}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{:}\mathbf{ } \mathrm{ครั้งที่} 1 \mathrm{หยิบได้สีขาวครั้งที่} 8 \mathrm{หยิบได้สีเขียว} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{ครั้งที่} 1 \mathrm{หยิบสีขาว} C_{3,1} = 3 \mathrm{วิธี} \\ \mathrm{ครั้งที่} 8 \mathrm{หยิบสีเขียว} C_{3,1} = 2 \mathrm{วิธี} \\ \mathrm{อีก} 6 \mathrm{ครั้งที่เหลือ} \mathrm{หยิบลูกแก้วทีละลูกไม่ใส่คืน} \\ \mathrm{จำนวนวิธีคือ} 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=6! \mathrm{วิธี} \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{จำนวนวิธีมี} 3\times 3\times 6! = 9\times 6! \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} n\left(A\cap B\right) = \mathrm{กรณี} 1 + \mathrm{กรณี} 2 \\ = \left(6\times 6!\right)+\left(9\times 6!\right) \\ n\left(A\cap B\right) = 15\times 6! \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} n\left(A\cup B\right) = n\left(A\right)+n\left(B\right)-n\left(A\cap B\right) \\ = \left(3\times 7!\right)+\left(6\times 7!\right)-\left(15\times 6!\right) \\ = \left(9\times 7!\right)-\left(15\times 6!\right) \\ = \left(9\times 7\times 6!\right)-\left(15\times 6!\right) \\ = 48\times 6! \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} P\left(E\right) = \frac{n\left(E\right)}{n\left(S\right)} \\ P\left(A\cup B\right) = \frac{n\left(A\cup B\right)}{n\left(S\right)} \\ P\left(A\cup B\right) = \frac{48\times 6!}{8!} = \frac{6}{7} \\ \mathbf{ดังนั้น}\mathbf{ }\mathbf{ตอบ}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{7}} \end{gathered}$$