ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 28

กำหนดให้ $ℝ$ เป็นเซตของจำนวนจริง ให้ $f : ℝ \to ℝ$ และ $g : ℝ \to ℝ$ เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุกอันดับ และสอดคล้องกับ $g (x) = x f (x)$ และ $g' (x) = 4 x^{3} + 9 x^{2} + 2$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ $f$ เท่ากับ 6

(ข) ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ $f$ เท่ากับ 2

(ค) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $(f + g) (x)$ เทียบกับ $x$ ขณะที่ $x = 1$ เท่ากับ 12

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ g' (x) = 4 x^{3} + 9 x^{2} + 2 จะได้ g (x) = \int (4 x^{3} + 9 x^{2} + 2) d x = \frac{4 x^{4}}{4} + \frac{9 x^{3}}{3} + 2 x + c ดังนั้น g (x) = x^{4} + 3 x^{3} + 2 x + c \to 1$

$จากโจทย์ g (x) = x f (x) แทน x = 0 จะได้ g (0) = 0 f (0) g (0) = 0 จะได้ 0^{4} + 3 {(0)}^{3} + 2 (0) + c = 0 c = 0; แทนใน 1 จะได้ g (x) = x^{4} + 3 x^{3} + 2 x$

$จากโจทย์ g (x) = x f (x) f (x) = \frac{g (x)}{x} = \frac{x^{4} + 3 x^{3} + 2 x}{x} ดังนั้น f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2 จะได้ f' (x) = 3 x^{2} + 6 x$

$หาจุดวิกฤตโดย f' (x) = 0 3 x^{2} + 6 x = 0 3 x (x + 2) = 0 x = 0, - 2 เป็นจุดวิกฤต f เป็นฟังก์ชั่นเพิ่มเมื่อ f' (x) > 0 3 x (x + 2) > 0 x > 0, - 2 x = (- \infty, - 2) \cup (0, \infty)$

$จากแผนภาพ ค่าสูงสุดสัมพันธ์ ที่ x = - 2 ค่าต่ำสุดสัมพันธ์ ที่ x = 0$

$พิจารณาข้อ (ก) พิจารณา ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f เท่ากับ 6 ใช่หรือไม่ เมื่อ f จะมีค่าสูงสุดสัมพันธ์ที่ x = - 2 จะได้ f (- 2) = {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 2 = 6 ดังนั้น ข้อ (ก) ถูก$

$พิจารณาข้อ (ข) พิจารณา ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f เท่ากับ 2 ใช่หรือไม่ เมื่อ f จะมีค่าต่ำสุดสัมพันธ์ที่ x = 0 จะได้ f (0) = {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 2 = 2 ดังนั้น ข้อ (ข) ถูก$

$พิจารณาข้อ (ค) พิจารณา อัตราการเปลี่ยนแปลงของ (f + g) (x) เทียบกับ x ขณะที่ x = 1 เท่ากับ 12 ใช่หรือไม่$

$หาค่า (f + g)' (x) (f + g) (x) = f (x) + g (x) = (x^{3} + 3 x^{2} + 2) + (x^{4} + 3 x^{3} + 2 x) = x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 2 จะได้ (f + g)' (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 2 แทน x = 1 (f + g)' (1) = 4 {(1)}^{3} + 12 {(1)}^{2} + 6 (1) + 2 = 24 ดังนั้น ข้อ (ค) ผิด ดังนั้น ตอบ 1) ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด$

ข้อถัดไป