ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 5

ให้ $a$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $0 < a < 1$ เซตคำตอบของอสมการ $\frac{a |x| + 1}{x} > 1$

เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้

1
$(- \infty, - \frac{1}{a})$
2
$(- 1, \frac{1}{1 - a})$
3
$(1, \frac{1}{a})$
4
$(\frac{1}{1 - a}, \infty)$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม |x| = \{\begin{cases} x เมื่อ x \geq 0 \\ - x เมื่อ x < 0 \end{cases}$

$จากโจทย์ \frac{a |x| + 1}{x} > 1 แบ่ง |x| เป็น 2 กรณี คือ กรณี 1 x < 0 \to |x| = - x จะได้ \frac{a (- x) + 1}{x} > 1$
$\frac{- ax + 1}{x} - 1 > 0 \frac{- ax + 1 - x}{x} > 0 x [- ax - x + 1] > 0 x [x (- a - 1) + 1] > 0 - x [x (a + 1) - 1] > 0 x [x (a + 1) - 1] > 0 x < 0, \frac{1}{a + 1} x = (0, \frac{1}{a + 1})$

$แสดงว่า เซตคำตอบกรณี 1 คือ (0, \frac{1}{a + 1}) \cap x < 0 ดังนั้น เซตคำตอบกรณี 1 = \emptyset กรณี 2 x \geq 0 \to |x| = x แต่ส่วนห้ามเป็น 0 จะได้ x > 0 จะได้ \frac{ax + 1}{x} > 1 \frac{ax + 1}{x} - 1 > 0 \frac{ax + 1 - x}{x} > 0 x (ax - x + 1) > 0 x [x (a - 1) + 1] > 0$

$นำ - 1 คูณตลอด เพราะ 0 < a < 1 ทำให้พจน์ x (a - 1) ติดลบ จะได้ x [x (1 - a) - 1] < 0 x < 0, \frac{1}{1 - a} x = (0, \frac{1}{1 - a})$

$แสดงว่า เซตคำตอบกรณี 2 คือ (0, \frac{1}{1 - a}) \cap x > 0 ดังนั้น เซตคำตอบกรณี 2 = (0, \frac{1}{1 - a}) จากกรณี 1 และ 2 นำคำตอบมา Union กัน = \emptyset \cup (0, \frac{1}{1 - a}) = (0, \frac{1}{1 - a}) จะได้ (0, \frac{1}{1 - a}) \subset (- 1, \frac{1}{1 - a})$