ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{นักเรียน} 3 \mathrm{คน}} \\ \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{คะแนนสอบคณิตศาสตร์ของนักเรียน} \hspace{0.17em}3 \mathrm{คน} \\ \mathrm{มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ} 45 \mathrm{คะแนน} \mathrm{จะได้} \overline{\mathrm{x}}=45 \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าเท่ากับศูนย์} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{S}.\mathrm{D}.=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{S}.\mathrm{D}.=\sqrt{\frac{\sum {\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{x}}\right)}^2}{\mathrm{N}}} \\ 0=\sqrt{\frac{\left({\mathrm{x}}_1-45\right)+\left({\mathrm{x}}_2-45\right)+\left({\mathrm{x}}_3-45\right)}{3}} \\ 0=\frac{\left({\mathrm{x}}_1-45\right)+\left({\mathrm{x}}_2-45\right)+\left({\mathrm{x}}_3-45\right)}{3} \\ \mathrm{แสดงว่า} {\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2={\mathrm{x}}_3=45 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \\ \mathrm{มีนักเรียน} 2 \mathrm{คน} \mathrm{ได้คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์นี้เท่ากับ} \\ \mathrm{a} \mathrm{และ} \mathrm{b} \mathrm{คะแนน} \mathrm{โดยอัตราส่วนของ} \mathrm{a} \mathrm{ต่อ} \mathrm{b} \mathrm{เป็น} 2:3 \\ \mathrm{จะได้} {\mathrm{x}}_4=\mathrm{a} , {\mathrm{x}}_5=\mathrm{b} \\ \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{2}{3} \\ \mathrm{a}=\frac{2}{3}\mathrm{b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{นักเรียน} 5 \mathrm{คน}} \\ \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ถ้านำคะแนนของนักเรียนทั้งสองคนนี้} \\ \mathrm{รวมกับของนักเรียน} 3 \mathrm{คน} \\ \mathrm{ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} 50 \mathrm{คะแนน} \\ \mathrm{จะได้} \frac{{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_5}{5}=50 \end{gathered}$$​
$$\begin{gathered} \frac{45+45+45+\mathrm{a}+\mathrm{b}}{5}=50 ; \mathrm{โดย} \mathrm{a}=\frac{2}{3}\mathrm{b} \\ \frac{135+{\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{b}+\mathrm{b}}{5}=50 \\ \frac{5\mathrm{b}}{3}=250-135 \\ \mathrm{b}=\left(115\right)\left(\frac{3}{5}\right) \\ \mathrm{b}=69 ; \mathrm{โดย} \mathrm{a}=\frac{2}{3}\mathrm{b} \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{a}=\frac{2}{3}\left(69\right)=46 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{ความแปรปรวน} \left({\mathrm{s}}^2\right)=\frac{{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{N}}}{\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{x}}\right)}^2}{\mathrm{N}} \\ {\mathrm{s}}^2=\frac{{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{N}}{\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{x}}\right)}^2}}{\mathrm{N}} \\ =\frac{{\left(45-50\right)}^2+{\left(45-50\right)}^2+{\left(45-50\right)}^2+{\left(46-50\right)}^2+{\left(69-50\right)}^2}{5} \\ =\frac{25+25+25+16+361}{5} \\ =\frac{452}{5} \\ =90.4 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ความแปรปรวนของนักเรียนทั้ง} 5 \mathrm{คนเท่ากับ} 90.4 \end{gathered}$$