ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 20

กำหนดให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง ให้ $f, g$ และ $h$ เป็นฟังก์ชันพหุนามจาก $R$ ไปยัง $R$ โดยที่ $f (x) = 2 x - 5, (f^{- 1} \circ g) (x) = 4 x$ และ $(g \circ h) (x)$ หารด้วย $x - 1$ แล้ว เหลือเศษเท่ากับ $- 21$ ให้ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยสุดที่สอดคล้องกับ $h (x - c) = x^{3} - 3 x^{2} - 2$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $(f \circ h) (c) = 23$

(ข) $(h + g) (c) = 35$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = 2 x - 5 y = 2 x - 5 หา f^{- 1} (x) เปลี่ยน x เป็น y, เป็น y เปลี่ยน x จะได้ x = 2 y - 5 y = \frac{x + 5}{2} f^{- 1} (x) = \frac{x + 5}{2}$

$จากโจทย์ (f^{- 1} \circ g) (x) = 4 x f^{- 1} (g (x)) = 4 x; โดย f^{- 1} (x) = \frac{x + 5}{2} จะได้ \frac{g (x) + 5}{2} = 4 x g (x) = 8 x - 5 \to 1 หา (g \circ h) (x) จะได้ (g \circ h) (x) = g (h (x)); โดย g (x) = 8 x - 5 (g \circ h) (x) = 8 h (x) - 8$

$จากโจทย์ (g \circ h) (x) หารด้วย x - 1 แล้ว เหลือเศษเท่ากับ - 21 จะได้ g (h (1)) = - 21 8 h (1) - 8 = - 21 h (1) = - 2$

$จากโจทย์ h (x - c) = x^{3} - 3 x^{2} - 2 \to 2 พิจารณา h (1) และ h (x - c) กำหนดให้ x - c = 1 x = 1 + c; แทนใน 2 จาก 2 จะได้ h (1) = {(1 + c)}^{3} - 3 {(1 + c)}^{2} - 2; โดย h (1) = - 2 - 2 = A^{3} - 3 A^{2} - 2; โดย A = 1 + c$
$A^{3} - 3 A^{2} = 0 A^{2} (A - 3) = 0 จะได้ A^{2} = 0 หรือ A - 3 = 0 {(1 + c)}^{2} = 0 (1 + c) - 3 = 0 c = - 1 c = 2 จากโจทย์ c เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด จะได้ c = 2$

$พิจารณาข้อ (ก) จากโจทย์ (f \circ h) (c) = 23 หาค่า (f \circ h) (c) จะได้ (f \circ h) (c) = f (h (c)) = f (h (2)) \to 3$

$จาก 2 h (x - c) = x^{3} - 3 x^{2} - 2; โดย c = 2 h (x - 2) = x^{3} - 3 x^{2} - 2 แทน x = 4 h (x - 4) = {(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 2 h (2) = 64 - 48 - 2 h (2) = 14; แทนใน 3$

$จะได้ (f \circ h) (c) = f (14); โดย f (x) = 2 x - 5 = 2 (14) - 5 = 23 ดังนั้น ข้อ (ก) ถูก พิจารณาข้อ (ข) จากโจทย์ (h + g) (c) = 35 หาค่า (h + g) (c) จะได้ (h + g) (c) = (h + g) (2) = h (2) + g (2); โดย h (2) = 14 = 14 + g (2) \to 4$