ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 38

กำหนดให้ $f (x) = x^{2} + a x + b$ เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง ถ้า $f (1) = 2$ และ $(f \circ f) (0) = 10$ แล้วค่าของ $\int_{- 1}^{2} f (x) d x$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = x^{2} + a x + b \to a หาค่า f (1) แทน x = 1 f (1) = 1^{2} + a (1) + b = 1 + a + b หาค่า f (0) แทน x = 0 f (0) = 0^{2} + a (0) + b = b จากโจทย์ f (1) = 2; แทน f (1) = 1 + a + b 1 + a + b = 2 จะได้ a + b = 1 \to 1$

$จากโจทย (f o f) (0) = 10 f (f (0)) = 10; แทน f (0) = b f (b) = 10; แทน x = b ลงใน f (x) จะได้ b^{2} + a b + b = 10 จัดรูป b (b + a) + b = 10; จาก 1 \to a + b = 1 b (1) + b = 10 b = 5$

$จาก 1 a + b = 1; แทน b = 5 a + 5 = 1 a = - 4 จาก a จะได้ f (x) = x^{2} + a x + b; แทน a = - 4, b = 5 = x^{2} - 4 x + 5 ดังนั้น \int_{- 1}^{2} f (x) d x = \int_{- 1}^{2} (x^{^{2}} - 4 x + 5) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{4 x^{2}}{2} + 5 x_{- 1}^{2}$
$= \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 5 x_{- 1}^{2} = (\frac{{(2)}^{3}}{3} - 2 {(2)}^{2} + 5 (2)) - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 (- 1)) = 12$