ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

$จากโจทย์ a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{2^{k}} เมื่อ n = 1, 2, 3, . . . a_{n} = \frac{1}{2^{1}} + \frac{2}{2^{2}} + \frac{3}{2^{3}} + . . . . + \frac{n}{2^{n}} จะเห็นว่า a_{n} เป็นอนุกรมผสม (เศษเป็นอนุกรมเลขคณิต และส่วนเป็นอนุกรมเรขาคณิต), r = \frac{1}{2}$
$จาก a_{n} = \frac{1}{2^{1}} + \frac{2}{2^{2}} + \frac{3}{2^{3}} + . . . . + \frac{n - 1}{2^{n - 1}} + \frac{n}{2^{n}} \to 1 r x a_{n}; \frac{1}{2} \cdot a_{n} = \frac{1}{2^{2}} + \frac{2}{2^{3}} + \frac{3}{2^{4}} + . . . . + \frac{n - 1}{2^{n}} + \frac{n}{2^{n + 1}} \to 2$

$นำ 1 - 2 a_{n} - \frac{1}{2} \cdot a_{n} = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + . . . . + \frac{1}{2^{n}}) - \frac{n}{2^{n + 1}} จะได้ \frac{1}{2} \cdot a_{n} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + . . . . + \frac{1}{2^{n}}) - \frac{n}{2^{n + 1}} \to 3$

$จะเห็นว่า (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + . . . + \frac{1}{2^{n}}) เป็นอนุกรมเรขาคณิต โดย r = \frac{1}{2}, a_{1} = \frac{1}{2} สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิต S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}; โดย |r| < 1$

$แทนค่า r = \frac{1}{2}, a_{1} = \frac{1}{2} = \frac{\frac{1}{2} (1 - (\frac{1}{2})^{n})}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{n} ดังนั้น (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + . . . + \frac{1}{2^{n}}) = 1 - {(\frac{1}{2})}^{n} จาก 3 \frac{1}{2} \cdot a_{n} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + . . . + \frac{1}{2^{n}}) - \frac{n}{2^{n + 1}} แทนค่า S_{_{n}};$

$จะได้ \frac{1}{2} \cdot a_{n} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{n} - \frac{n}{2^{n + 1}} ดังนั้น a_{n} = 2 - \frac{2}{2^{n}} - \frac{n}{2^{n}} แสดงว่า 2^{n} (6 - 3 a_{n}) = 2^{n} [6 - 3 (2 - \frac{2}{2^{n}} - \frac{n}{2^{n}})] = 2^{n} [6 - 6 + \frac{6}{2^{n}} + \frac{3 n}{2^{n}}] = 2^{n} [\frac{6}{2^{n}} + \frac{3 n}{2^{n}}] = 6 + 3^{n}$

$ดังนั้น \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} (6 - 3 a_{n})}{\sqrt{n^{2} + 5 n + 1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6 + 3 n}{\sqrt{n^{2} + 5 n + 1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 n}{\sqrt{n^{2}}} = \frac{3 n}{|n|} = 3$