ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2555

ข้อ 11

ให้ $A$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $\log (\sqrt{x + 1} + 5) = \log x$ และ $B$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $\log_{2} (3 x) + \log_{4} (9 x) + \log_{8} (27 x) = 3 + 2 \log_{64} (x)$ ผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต $A \cup B$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{12}{9}$
2
$\frac{16}{9}$
3
$\frac{32}{9}$
4
$\frac{96}{9}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$เซต A จากโจทย์ \log (\sqrt{x + 1} + 5) = \log x \to 1 จะได้ \sqrt{x + 1} + 5 = x \sqrt{x + 1} = x - 5; ยกกำลัง 2 ทั้งสองข้าง x + 1 = x^{2} - 10 x + 25 x^{2} - 11 x + 24 = 0 (x - 3) (x - 8) = 0 x = 3, 8$

$- แทนค่า x ลงใน 1 แทน x = 3 \log (\sqrt{3 + 1} + 5) = \log 3 \log 7 = \log 3; ไม่เป็นจริง แทน x = 8 \log (\sqrt{8 + 1} + 5) = \log 8 \log 8 = \log 8; เป็นจริง ดังนั้น A = \{8\}$

$เซต B จากโจทย์ \log_{2} 3 x + \log_{4} 9 x + \log_{8} 27 x = 3 + 2 \log_{64} x จะได้ \log_{2} 3 x + \frac{1}{2} \log_{2} 9 x + \frac{1}{3} \log_{2} 27 x = 3 + \frac{1}{3} \log_{2} x \log_{2} 3 x + \log_{2} {(9 x)}^{\frac{1}{2}} + \log_{2} {(27 x)}^{\frac{1}{3}} = \log_{2} 8 + \log_{2} x^{\frac{1}{3}} \log_{2} 3 x + \log_{2} 3 x^{\frac{1}{2}} + \log_{2} 3 x^{\frac{1}{3}} = \log_{2} 8 + \log_{2} x^{\frac{1}{3}} \log_{2} (3 x \cdot 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{3}}) = \log_{2} (8 \cdot x^{\frac{1}{3}})$
$\log_{2} 27 x^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = \log_{2} 8 x^{\frac{1}{3}} 27 x^{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = 8 x^{\frac{1}{3}} 27 x^{\frac{3}{2}} = 8 x^{\frac{3}{2}} = \frac{8}{27}$
$x^{\frac{3}{2}} = {(\frac{2}{3})}^{3} x = {(\frac{2}{3})}^{3 \times \frac{2}{3}} x = {(\frac{2}{3})}^{2} x = \frac{4}{9}$

$แสดงว่า B = \{\frac{4}{9}\} ดังนั้น ผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต A \cup B = ผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต \{8, \frac{4}{9}\} = 8 \times \frac{4}{9} = \frac{32}{9}$