ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2555

ข้อ 10

กำหนดให้ x > 1 , a >1 , b >1 และ c >1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. ถ้า b²= ac แล้ว $(\log_{a} x) (\log_{b} x - \log_{c} x) = (\log_{c} x) (\log_{a} x - \log_{b} x)$
ข. ถ้า c $>$ b + 1 และ a²+b² = c² แล้ว $\log_{(c + b)} a + \log_{(c - b)} a = 2 (\log_{(c + b)} a) (\log_{(c - b)} a)$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ก. ถูก และ ข. ถูก
2
ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3
ก. ผิด แต่ ข. ถูก
4
ก. ผิด และ ข. ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ก) b^{2} = ac จะได้ \frac{b}{a} = \frac{c}{b} ดังนั้น (\log_{a} x) (\log_{b} x - \log_{c} x)$

$= \frac{\log x}{\log a} (\frac{\log x}{\log b} - \frac{\log x}{\log c}) = \frac{\log x}{\log a} (\frac{\log c \log x - \log b \log x}{\log b \log c}) = \frac{\log x}{\log a} (\frac{\log x (\log c - \log b)}{\log b \log c})$

$= \frac{\log x}{\log a} (\frac{\log x \log (\frac{c}{b})}{\log b \log c}); โดย \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{\log x}{\log c} (\frac{\log x \log (\frac{b}{a})}{\log a \log b})$

$= \frac{\log x}{\log c} (\frac{\log x (\log b - \log a)}{\log a \log b}) = \frac{\log x}{\log c} (\frac{\log x \log b}{\log a \log b} - \frac{\log x \log a}{\log a \log b}) = \frac{\log x}{\log c} (\frac{\log x}{\log a} - \frac{\log x}{\log b}) = \log_{c} x (\log_{a} x - \log_{b} x) ข้อ ก . ถูก$

$จากโจทย์ ข) a^{2} + b^{2} = c^{2} จะได้ a^{2} = c^{2} - b^{2} ดังนั้น \log_{c + b} a + \log_{c - b} a = \frac{\log a}{\log (c + b)} + \frac{\log a}{\log (c - b)}$

$= \log a (\frac{1}{\log (c + b)} + \frac{1}{\log (c - b)}) = \log a (\frac{\log (c - b) + \log (c + b)}{\log (c + b) \log (c - b)}) = \log a (\frac{\log (c^{2} - b^{2})}{\log (c + b) \log (c - b)}) โดย a^{2} + b^{2} = c^{2};$

$= \log a (\frac{\log a^{2}}{\log (c + b) \log (c - b)}) = \frac{2 \log a \log a}{\log (c + b) \log (c - b)} = 2 (\frac{\log a}{\log (c + b)} \cdot \frac{\log a}{\log (c - b)}) = 2 (\log_{(c + b)} a) (\log_{(c - b)} a) ข้อ ข . ถูก$