ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

$\mathrm{สูตร} \left|\mathrm{x}\right|=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x} \mathrm{เมื่อ} \mathrm{x}⩾0\\ -\mathrm{x} \mathrm{เมื่อ} \mathrm{x}<0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left|1+\mathrm{x}-2{\mathrm{x}}^2\right|}{\sqrt{\mathrm{x}+3}-2} \\ = \underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left|\left(1+2\mathrm{x}\right)\left(1-\mathrm{x}\right)\right|}{\sqrt{\mathrm{x}+3}-2}·\left(\frac{\sqrt{\mathrm{x}+3}+2}{\sqrt{\mathrm{x}+3}+2}\right) \\ = \underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left|1+2\mathrm{x}\right|\left|1-\mathrm{x}\right|\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}+2\right)}{{\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}\right)}^2-2^2} \\ = \underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left|1+2\mathrm{x}\right|\left|1-\mathrm{x}\right|\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}+2\right)}{\mathrm{x}-1}\to \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{โดย} \mathrm{x}\to 1^{+} \left(\mathrm{x}\approx 1.001\right) \\ \mathrm{แทนใน} \left|1+2\mathrm{x}\right| \mathrm{จะได้} \left|1+2\mathrm{x}\right|=1+2\mathrm{x} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em} \hspace{0.17em}\left|1-\mathrm{x}\right| \mathrm{จะได้} \left|1-\mathrm{x}\right|=-\left(1-\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{1} \underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left|1+\mathrm{x}-2{\mathrm{x}}^2\right|}{\sqrt{\mathrm{x}+3}-2} \\ = \underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left|1+2\mathrm{x}\right|\left|1-\mathrm{x}\right|\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}+2\right)}{\mathrm{x}-1} \\ = \underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left(1+2\mathrm{x}\right)\cancel{\left(\mathrm{x}-1\right)}\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}+2\right)}{\cancel{\mathrm{x}-1}} \\ = \underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\left(1+2\mathrm{x}\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}+3}+2\right) \\ = \left[1+2\left(1\right)\right]\left(\sqrt{1+3}+2\right) \\ = 3\left(4\right) \\ = 12 \end{gathered}$$