ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 33

ถ้า $\cos 5 θ = a \cos^{5} θ + b \cos^{3} θ + c \cos θ$ เมื่อ $θ$ เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วค่าของ $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ เท่ากับข้อใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$\cos 5 θ = \cos (3 θ + 2 θ) = \cos 3 θcos 2 θ - \sin 3 θsin 2 θ = (4 \cos^{3} θ - 3 cosθ) (2 \cos^{2} θ - 1) - (3 sinθ - 4 \sin^{3} θ) (2 sinθcosθ) = 8 \cos^{5} θ - 4 \cos^{3} θ - 6 \cos^{3} θ + 3 cosθ - (6 \sin^{2} θcosθ - 8 \sin^{4} θcosθ) = 8 \cos^{5} θ - 10 \cos^{3} θ + 3 cosθ - (6 \sin^{2} θcosθ - 8 \sin^{4} θcosθ) \to 1 โดย \sin^{4} θ = {(\sin^{2} θ)}^{2} = {(1 - \cos^{2} θ)}^{2} = 1 - 2 \cos^{2} θ + \cos^{4} θ แทน \sin^{4} θ = 1 - 2 \cos^{2} θ + \cos^{4} θ ใน 1$

$จะได้ \cos 5 θ = 8 \cos^{5} θ - 10 \cos^{3} θ + 3 cosθ - [6 (1 - \cos^{2} θ) cosθ - 8 (1 - 2 \cos^{2} θ + \cos^{4} θ) cosθ] = 8 \cos^{5} θ - 10 \cos^{3} θ + 3 cosθ - [6 cosθ - 6 \cos^{3} θ - 8 cosθ + 16 \cos^{3} θ - 8 \cos^{5} θ] = 8 \cos^{5} θ - 10 \cos^{3} θ + 3 cosθ - [- 2 cosθ + 10 \cos^{3} θ - 8 \cos^{5} θ] = 16 \cos^{5} θ - 20 \cos^{3} θ + 5 cosθ จากโจทย์ \cos 5 θ = {acos}^{5} θ + {bcos}^{3} θ + ccosθ จะได้ a = 6, b = 20, c = 5 ดังนั้น a^{2} + b^{2} + c^{2} = 16^{2} + {(- 20)}^{2} + 5^{2} = 256 + 400 + 25 = 681$