ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

$$\begin{gathered} \mathrm{กำหนดให้} \mathrm{a},\mathrm{b} \mathrm{เป็นด้านตรงข้ามมุม} \mathrm{A},\mathrm{B} \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{ด้านตรงข้ามมุม} \mathrm{C} \mathrm{ยาว} 20 \mathrm{หน่วย} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{c}=20 \\ -\mathrm{วาดรูปสามเหลี่ยม} \mathrm{ABC} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} 25\mathrm{cosB}-13\mathrm{cosC}=15\to \boxed{1} \\ \mathrm{และ} 65(\mathrm{cosB}+\mathrm{cosC})=77 \\ 65\mathrm{cosB}+65\mathrm{cosC}=77\to \boxed{2} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1},\boxed{2} \mathrm{แก้} 2 \mathrm{สมการ} 2 \mathrm{ตัวแปร} \\ \mathrm{จะได้} \cos \mathrm{B}=\frac{152}{190}=\frac{4}{5} \\ \cos \mathrm{C}=\frac{5}{13} \\ -\mathrm{วาดรูปสามเหลี่ยมมุม} \mathrm{B} \mathrm{และ} \mathrm{สามเหลี่ยมมุม} \mathrm{C} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \sin \mathrm{B}=\frac{3}{5} \\ \sin \mathrm{C}=\frac{12}{13} \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{ABC} \mathrm{เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม} \mathrm{B} \\ \mathrm{และมุม} \mathrm{C} \mathrm{เป็นมุมแหลม} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=180° \\ \mathrm{A}=180°-\left(\mathrm{B}+\mathrm{C}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{take} \sin \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} ; \sin \mathrm{A}=\sin \left[180°-\left(\mathrm{B}+\mathrm{C}\right)\right] \\ =\sin \left(\mathrm{B}+\mathrm{C}\right) \\ =\sin \mathrm{B} \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{B} \sin \mathrm{C} \\ =\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right)+\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) \\ \sin \mathrm{A}=\frac{63}{65} \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathrm{กฎของ} s\mathrm{ine} \frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{\mathrm{c}}{\sin \mathrm{C}} \\ \mathrm{พิจารณา} \frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{\mathrm{c}}{\sin \mathrm{C}} \\ \frac{\mathrm{b}}{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}=\frac{20}{\left({\displaystyle \frac{12}{13}}\right)} \\ \mathrm{b}=20\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) \\ \mathrm{b}=13 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{พิจารณา} \frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{c}}{\sin \mathrm{C}} \\ \frac{\mathrm{b}}{\left({\displaystyle \frac{63}{65}}\right)}=\frac{20}{\left({\displaystyle \frac{12}{13}}\right)} \\ \mathrm{b}=20\left(\frac{63}{65}\right)\left(\frac{13}{12}\right) \\ \mathrm{b}=21 \\ \mathrm{จะได้} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=21+13+20 \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} =54 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ความยาวของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม} \mathrm{ABC} \mathrm{เท่ากับ} 54 \end{gathered}$$