ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2564

ข้อ 45

กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่

$f (x) = \{\begin{cases} x + 5 & เมื่อ x > a \\ x + 1 & เมื่อ x \leq a \end{cases} และ a > 0$

และให้ $g$ เป็นฟังก์ชันโดยที่ $g (x) = x^{2}$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$

ถ้า $\lim_{x \to a^{-}} (g \circ f) (x) - \lim_{x \to a^{+}} (f \circ g) (\sqrt{x}) = 2$ แล้วค่าของ $a$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = \{\begin{array}{l} x + 5 & เมื่อ x > a \to 1 \\ x + 1 & เมื่อ x \leq a \to 2 \end{array} และ a > 0 \lim_{x \to a^{-}} (g \circ f) (x) - \lim_{x \to a^{+}} (f \circ g) (\sqrt{x}) = 2$

$หาค่า \lim_{x \to a^{-}} (g \circ f) (x) โดย f (a^{-}) จะได้สมการ 2; x \to a^{-} คือ x \leq a จาก 2 f (x) = x + 1 จะได้ \lim_{x \to a^{-}} (g \circ f (x)) = \lim_{x \to a^{-}} g (f (x)) โดย f (x) = x + 1 = \lim_{x \to a^{-}} g (x + 1) = g (a + 1) \to 3 โดย g (x) = x^{2} จะได้ g (a + 1) = {(a + 1)}^{2}; แทนใน 3$

$จาก 3 \lim_{x \to a^{-}} (g \circ f) (x) = {(a + 1)}^{2} หาค่า \lim_{x \to a^{+}} (f \circ g) (\sqrt{x}) โดย g (x) = x^{2} จะได้ g (\sqrt{x}) = {(\sqrt{x})}^{2} = x$

$จะได้ \lim_{x \to a^{+}} (f \circ g) (x) = \lim_{x \to a^{+}} f (g (\sqrt{x})) = \lim_{x \to a^{+}} f (x) \to 4 โดย f (a^{+}) จะได้สมการ 1; x \to a^{+} คือ x > a จาก 1 f (x) = x + 5 จาก 4 \lim_{x \to a^{+}} (f \circ g) (\sqrt{x}) = \lim_{x \to a^{+}} (x + 5) = a + 5$

$จากโจทย์ \lim_{x \to a^{-}} (g \circ f) (x) - \lim_{x \to a^{+}} (f \circ g) (\sqrt{x}) = 2 จะได้ {(a + 1)}^{2} - (a + 5) = 2 a^{2} + 2 a + 1 - (a + 5) = 2 a^{2} + a - 6 = 0 (a + 3) (a - 2) = 0 a = - 3, 2 จากโจทย์ a > 0 ดังน้ัน a = 2$

สิ้นสุดแบบฝึกหัด