ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 42

ถ้า $\{a_{n}\}$ และ $\{b_{n}\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ $a_{n} = \frac{2^{n}}{n (n + 2)}$ และ $b_{n} = \frac{3^{n}}{5 n + 18}$ สำหรับ $n = 1, 2, 3, \dots$ แล้วอนุกรม $\frac{a_{1}}{b_{1}} + \frac{a_{2}}{b_{2}} + \frac{a_{3}}{b_{3}} + \dots$ มีผลบวกเท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n} = \frac{2^{n}}{n (n + 2)} และ b_{n} = \frac{3^{n}}{5 n + 18} จะได้ \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{(\frac{2^{n}}{n (n + 2)})}{(\frac{3^{n}}{5 n + 18})} = \frac{2^{n}}{n (n + 2)} \cdot \frac{5 n + 18}{3^{n}} = {(\frac{2}{3})}^{n} \cdot \frac{5 n + 18}{n (n + 2)} \to 1 แยกเศษส่วนย่อยของ \frac{5 n + 18}{n (n + 2)}$

$กำหนดให้ \frac{5 n + 18}{n (n + 2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{(n + 2)} \to 2 = \frac{A (n + 2) + B (n)}{n (n + 2)} = \frac{An + 2 A + Bn}{n (n + 2)} = \frac{(A + B) n + 2 A}{n (n + 2)} 5 n + 18 = (A + B) n + 2 A$

$เทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ 2 A = 18 และ A + B = 5 A = 9 9 + B = 5 B = - 4 แทน A, B ใน 2 จะได้ \frac{5 n + 18}{n (n + 2)} = \frac{9}{n} + \frac{- 4}{(n + 2)} = \frac{9}{n} - \frac{4}{(n + 2)}; แทนใน 1 จาก 1 จะได้ \frac{a_{n}}{b_{n}} = {(\frac{2}{3})}^{n} \cdot [\frac{9}{n} - \frac{4}{n + 2}]$

$จากโจทย์ อนุกรม \frac{a_{1}}{b_{1}} + \frac{a_{2}}{b_{2}} + \frac{a_{3}}{b_{3}} + \dots มีผลบวกเท่ากับเท่าใด จะได้ \frac{a_{1}}{b_{1}} + \frac{a_{2}}{b_{2}} + \frac{a_{3}}{b_{3}} + \dots = \frac{2}{3} [\frac{9}{1} - \frac{4}{3}] + \frac{4}{9} [\frac{9}{2} - \frac{4}{4}] + \frac{8}{27} [\frac{9}{3} - \frac{4}{5}] + \frac{16}{81} [\frac{9}{4} - \frac{4}{6}] + . . . = [6 - \frac{8}{9}] + [2 - \frac{4}{9}] + [\frac{8}{9} - \frac{32}{135}] + [\frac{4}{9} - \frac{64}{486}] + . . . = 6 + 2 = 8 ดังนั้น อนุกรม \frac{a_{1}}{b_{1}} + \frac{a_{2}}{b_{2}} + \frac{a_{3}}{b_{3}} + \dots มีผลบวกเท่ากับ 8$