ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{นำกระเบื้อง} 7 \mathrm{แผ่นมาจัดเรียงเป็นแถวตรง} \mathrm{จากทั้งหมด} 3 \mathrm{สี} \\ \mathrm{โดยมีกระเบื้องแต่ละสีอย่างน้อยหนึ่งแผ่น} \\ \underline{\mathrm{กรณี} 1} \mathrm{A} \mathrm{A} \mathrm{A} \mathrm{A} \mathrm{A} \mathrm{B} \mathrm{C} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{กระเบื้อง} 7 \mathrm{แผ่น} \mathrm{มี} 3 \mathrm{สี} \\ \mathrm{แยกเป็นสีแรก} 1 \mathrm{แผ่น}, \mathrm{สีที่สอง} 1 \mathrm{แผ่น}, \mathrm{สีที่สาม} 5 \mathrm{แผ่น} \\ 1.1) \mathrm{สีที่สาม} \mathrm{มี} 5 \mathrm{แผ่น} \to \mathrm{เลือก} 1 \mathrm{สี} \mathrm{จากทั้งหมด} 3 \mathrm{สี}={\mathrm{C}}_{3,1}=3 \mathrm{วิธี} \\ 1.2) \mathrm{เรียงกระเบื้อง} 7 \mathrm{แผ่นเป็นเส้นตรง} (\mathrm{มีสีซ้ำกัน} 5 \mathrm{ชิ้น})=\frac{7!}{1!1!5!}=7\times 6 \mathrm{วิธี} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{จำนวนวิธีกรณี} 1 \mathrm{เท่ากับ} 3\times 7\times 6=126 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{กรณี} 2} \mathrm{A} \mathrm{A} \mathrm{A} \mathrm{A} \mathrm{B} \mathrm{B} \mathrm{C} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{กระเบื้อง} 7 \mathrm{แผ่น} \mathrm{มี} 3 \mathrm{สี} \\ \mathrm{แยกเป็นสีแรก} 1 \mathrm{แผ่น}, \mathrm{สีที่สอง} 2 \mathrm{แผ่น}, \mathrm{สีที่สาม} 4 \mathrm{แผ่น} \\ 2.1) \mathrm{สีที่สาม} \mathrm{มี} 4 \mathrm{แผ่น}\to \mathrm{เลือก} 1 \mathrm{สี} \mathrm{จากทั้งหมด} 3 \mathrm{สี}={\mathrm{C}}_{3,1}=3 \mathrm{วิธี} \\ 2.2) \mathrm{สีที่สอง} \mathrm{มี} 2 \mathrm{แผ่น}\to \mathrm{เลือก} 1 \mathrm{สี} \mathrm{จากที่เหลือ} 2 \mathrm{สี}={\mathrm{C}}_{2,1}=2 \mathrm{วิธี} \\ 2.3) \mathrm{สีแรก} \mathrm{มี} 1 \mathrm{แผ่น}\to \mathrm{เลือก} 1 \mathrm{สี} \mathrm{จากที่เหลือ} 1 \mathrm{สี}={\mathrm{C}}_{1,1}=1 \mathrm{วิธี} \\ 2.4) \mathrm{เรียงกระเบื้อง} 7 \mathrm{แผ่นเป็นเส้นตรง} (\mathrm{มีสีซ้ำกัน} 4 \mathrm{แผ่น} \mathrm{และ} 2\mathrm{แผ่น}) \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em} \mathrm{ได้วิธี}=\frac{7!}{1!2!4!}=\frac{7\times 6\times 5\times 4!}{2\times 4!}=105 \mathrm{วิธี} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{จำนวนวิธีกรณี} 2 \mathrm{เท่ากับ} 3\times 2\times 1\times 105=630 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{กรณี} 3} \mathrm{A} \mathrm{A} \mathrm{A} \mathrm{B} \mathrm{B} \mathrm{B} \mathrm{C} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{กระเบื้อง} 7 \mathrm{แผ่น} \mathrm{มี} 3 \mathrm{สี} \\ \mathrm{แยกเป็นสีแรก} 1 \mathrm{แผ่น}, \mathrm{สีที่สอง} 3 \mathrm{แผ่น}, \mathrm{สีที่สาม} 3 \mathrm{แผ่น} \\ 3.1) \mathrm{สีที่สองและสีที่สาม} \mathrm{มีอย่างละ} 3 \mathrm{แผ่น}\to \mathrm{เลือก} 2 \mathrm{สี} \mathrm{จาก} 3 \mathrm{สี}={\mathrm{C}}_{3,2}=3 \mathrm{วิธี} \\ 3.2) \mathrm{สีที่สอง} \mathrm{มี} 1 \mathrm{แผ่น}\to \mathrm{เลือก} 1 \mathrm{สี} \mathrm{จากที่เหลือ} 1 \mathrm{สี}={\mathrm{C}}_{1,1}=1 \mathrm{วิธี} \\ 3.3) \mathrm{เรียงกระเบื้อง} 7 \mathrm{แผ่นเป็นเส้นตรง} (\mathrm{มีสีซ้ำกัน} 3 \mathrm{แผ่น} \mathrm{และอีกสีซ้ำกัน} 3 \mathrm{แผ่น}) \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em} \mathrm{ได้วิธี}=\frac{7!}{1!3!3!}=\frac{7\times 6\times 5\times 4\times 3!}{3\times 2\times 3!}=7\times 5\times 4=140 \mathrm{วิธี} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{จำนวนวิธีกรณี} 3 \mathrm{เท่ากับ} 3\times 1\times 140=420 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{กรณี} 4} \mathrm{A} \mathrm{A} \mathrm{A} \mathrm{B} \mathrm{B} \mathrm{C} \mathrm{C} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{กระเบื้อง} 7 \mathrm{แผ่น} \mathrm{มี} 3 \mathrm{สี} \\ \mathrm{แยกเป็นสีแรก} 2 \mathrm{แผ่น}, \mathrm{สีที่สอง} 2 \mathrm{แผ่น}, \mathrm{สีที่สาม} 2 \mathrm{แผ่น} \\ 4.1) \mathrm{สีที่สองและสีที่สาม} \mathrm{มีอย่างละ} 2 \mathrm{แผ่น}\to \mathrm{เลือก} 2 \mathrm{สี} \mathrm{จาก} 3 \mathrm{สี}={\mathrm{C}}_{3,2}=3 \mathrm{วิธี} \\ 4.2) \mathrm{สีที่สอง} \mathrm{มี} 3 \mathrm{แผ่น}\to \mathrm{เลือก} 1 \mathrm{สี} \mathrm{จากที่เหลือ} 1 \mathrm{สี}={\mathrm{C}}_{1,1}=1 \mathrm{วิธี} \\ 4.3) \mathrm{เรียงกระเบื้อง} 7 \mathrm{แผ่นเป็นเส้นตรง} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(\mathrm{มีสีซ้ำกัน} 2 \mathrm{แผ่น}, \mathrm{สีที่สองซ้ำ} 2 \mathrm{แผ่น}, \mathrm{สีที่สามซ้ำ} 3 \mathrm{แผ่น}) \\ \mathrm{ได้วิธี}=\frac{7!}{2!2!3!}=\frac{7\times 6\times 5\times 4\times 3!}{2\times 1\times 2\times 1\times 3!}=210 \mathrm{วิธี} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{จำนวนวิธีกรณี} 4 \mathrm{เท่ากับ} 3\times 1\times 120=630 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{จำนวนวิธีทั้งหมด} 4 \mathrm{กรณีรวมกันคือ} \\ 126+630+420+630=1,806 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$​