ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

$สูตร มุม 2 เท่า มุม 3 เท่า \sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ \sin 3 θ = 3 \sin θ - 4 \sin^{3} θ$

$จากโจทย์ \sin θ - \sin 2 θ + \sin 3 θ = 0 \sin θ - 2 \sin θ \cos θ + (3 \sin θ - 4 \sin^{3} θ) = 0 4 \sin θ - 2 \sin θ \cos θ - 4 \sin^{3} θ = 0 2 \sin θ - \sin θ \cos θ - 2 \sin^{3} θ = 0 \sin θ (2 - \cos θ - 2 \sin^{2} θ) = 0 โดย \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1 หรือ \sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ$
$จะได้ \sin θ (2 - \cos θ - 2 (1 - \cos^{2} θ)) = 0 \sin θ (2 - \cos θ - 2 + 2 \cos^{2} θ) = 0 \sin θ (2 \cos^{2} θ - \cos θ) = 0 \sin θ \cdot \cos θ (2 \cos θ - 1) = 0$

$จะได้ \sin θ = 0 หรือ \cos θ = 0 หรือ 2 \cos θ - 1 = 0 θ = 0 ° θ = 90 ° \cos θ = \frac{1}{2} θ = 60 ° - แต่ 0 < θ < \frac{π}{2} หรือ 0 < θ < 90 ° ดังนั้น θ = 60 ° เพียงค่าเดียว$

$จากโจทย์ a = \frac{\tan θ - \tan 2 θ}{\cos θ - \cos 2 θ} แทน θ = 60 ° = \frac{\tan 60 - \tan 2 (60)}{\cos 60 - \cos 2 (60)} = \frac{\tan 60 - \tan 120}{\cos 60 - \cos 120} = \frac{\tan 60 - (- \tan 60)}{\cos 60 - (- \cos 60)} = \frac{2 \tan 60}{2 \cos 60} = \frac{\tan 60}{\cos 60} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{3}$

$จากโจทย์ b = \frac{\sin 3 θ + \sin 4 θ + \sin 5 θ}{\cos 3 θ + \cos 4 θ + \cos 5 θ} แทน θ = 60 ° = \frac{\sin 3 (60) + \sin 4 (60) + \sin 5 (60)}{\cos 3 (60) + \cos 4 (60) + \cos 5 (60)} = \frac{\sin 180 + \sin 240 + \sin 300}{\cos 180 + \cos 240 + \cos 300} = \frac{\sin 180 + (- \sin 60) + (- \sin 60)}{\cos 180 + (- \cos 60) + (+ \cos 60)} = \frac{0 + (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + (- \frac{\sqrt{3}}{2})}{(- 1) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1} = \sqrt{3}$

$ดังนั้น a^{4} + b^{4} = {(2 \sqrt{3})}^{4} + {(\sqrt{3})}^{4} = 2^{4} \cdot {(\sqrt{3})}^{4} + {(\sqrt{3})}^{4} = 16 (9) + 9 = 153$