ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

$นิยามค่าสัมบูรณ์ |a| = \{\begin{cases} a, a \geq 0 \\ - a, a < 0 \end{cases} C h e c k ว่า x^{2} - 7 x + 6 เป็นบวก หรือลบในช่วงใดบ้าง |x^{2} - 7 x + 6| = \{\begin{cases} x^{2} - 7 x + 6, x^{2} - 7 x + 6 \geq 0 \\ - (x^{2} - 7 x + 6), x^{2} - 7 x + 6 < 0 \end{cases} แยกตัวประกอบ x^{2} - 7 x + 6 = (x - 1) (x - 6) ซึ่งเขียนเส้นจำนวนได้ดังรูป$

$จากโจทย์ อินทิเกรต ตั้งแต่ - 2 ถึง 2 แบ่งช่วง [- 2, 2] ได้ดังนี้ \to - 2 ถึง 1 เป็นบวก จะได้ |x^{2} - 7 x + 6| = x^{2} - 7 x + 6 \to 1 ถึง 2 เป็นลบ จะได้ |x^{2} - 7 x + 6| = - (x^{2} - 7 x + 6) แบ่งอินทิเกรตเป็น 2 ช่อง เพื่อกำจัดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ ดังนี้$

$\int_{- 2}^{2} |x^{2} - 7 x + 6| d x = \int_{- 2}^{1} (x^{2} - 7 x + 6) d x + \int_{1}^{2} - (x^{2} - 7 x + 6) d x = \int_{- 2}^{1} (x^{2} - 7 x + 6) d x - \int_{1}^{2} (x^{2} - 7 x + 6) d x = (\frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + 6 x_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + 6 x_{1}^{2})$

$= ((\frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6) - (- \frac{8}{3} - \frac{28}{2} - 12)) - ((\frac{8}{3} - \frac{28}{2} + 12) - (\frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6))$

$= (\frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6 + \frac{8}{3} + \frac{28}{2} + 12) - (\frac{8}{3} - \frac{28}{2} + 12 - \frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 6) = (\frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6 + \frac{8}{3} + \frac{28}{2} + 12 - \frac{8}{3} + \frac{28}{2} - 12 + \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6) = 33 + \frac{2}{3} = \frac{101}{3}$

$ดังนั้น \frac{a}{b} = \frac{101}{3} จากโจทย์ ห . ร . ม . ของ a และ b เท่ากับ 1 จะได้ a = 101, b = 3 ดังนั้น a + b = 101 + 3 = 104$