ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 19

กำหนดให้ $f (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{6} - 3 x^{3} + 64}$ เมื่อ x เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (0, 3)
(ข) ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ $f$ เท่ากับ $\frac{4}{13}$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$ฟังก์ชันเพิ่ม เมื่อ f' (x) > 0 (ก) . จากโจทย์ f (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{6} - 3 x^{3} + 64} หา f' (x) จะได้ f' (x) = \frac{(x^{6} - 3 x^{3} + 64) (12 x^{2}) - (4 x^{3}) (6 x^{5} - 9 x^{2})}{{(x^{6} - 3 x^{3} + 64)}^{2}} = \frac{12 x^{8} - 36 x^{5} + 64 (12 x^{2}) - 24 x^{8} + 36 x^{5}}{{(x^{6} - 3 x^{3} + 64)}^{2}} ตัด - 36 x^{5} และ 36 x^{5} ออก$
$= \frac{12 x^{8} + 64 (12 x^{2}) - 24 x^{8}}{{(x^{6} - 3 x^{3} + 64)}^{2}} = \frac{- 12 x^{8} + 64 (12 x^{2})}{{(x^{6} - 3 x^{3} + 64)}^{2}} = \frac{- 12 x^{2} (x^{6} - 64)}{{(x^{6} - 3 x^{3} + 64)}^{2}}$

$f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม เมื่อ f' (x) > 0 จะได้ \frac{- 12 x^{2} (x^{6} - 64)}{{(x^{6} - 3 x^{3} + 64)}^{2}} > 0 แต่ - 12 มีค่าเป็นลบ เมื่อหารทำให้เครื่องหมายอสมการเปลี่ยน \frac{x^{2} (x^{6} - 64)}{{(x^{6} - 3 x^{3} + 64)}^{2}} < 0 \frac{x^{2} ({(x^{2})}^{3} - 4^{3})}{{(x^{6} - 3 x^{3} + 64)}^{2}} < 0$

$จากสูตร a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) จะได้ \frac{x^{2} (x^{2} - 4) (x^{4} + 4 x^{2} + 16)}{{(x^{6} - 3 x^{3} + 64)}^{2}} < 0 - แต่ x^{2} + 4 x^{2} + 16 และ {(x^{6} - 3 x^{3} + 64)}^{2} มีค่าเป็นบวกเสมอ ดังนั้นตัดทิ้งออกจากอสมการได้เลย จะได้ x^{2} (x^{2} - 4) < 0 x^{2} (x - 2) (x + 2) < 0 - นำค่า x = - 2, 0, 0, 2 มาวาดเส้นจำนวน (เลขยกกำลังคู่เขียนซ้ำ 2 ครั้ง)$

$จากเส้นจำนวน จะได้ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (- 2, 0) \cup (0, 2) ข้อ (ก) ผิด$

$(ข) ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f เมื่อ x = 2 ดังนั้น ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ = f (2) = \frac{4 (2^{3})}{2^{6} - 3 (2^{3}) + 64} = \frac{32}{64 - 24 + 64} = \frac{32}{104} = \frac{4}{13} ข้อ (ข) ถูก$