ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2555

ข้อ 37

กำหนดให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า $f : R \to R$ และ $g : R \to R$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่ $f (x) = 2 x + 3$ และ $(g \circ f) (x) = 8 x^{3} + 44 x^{2} + 80 x + 48$ สำหรับทุกจำนวนวจริง $x$ แล้วค่าของ $\int_{0}^{6} f (g (x)) d x$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = 2 x + 3 และ (g \circ f) (x) = 8 x^{3} + 44 x^{2} + 80 x + 48 จะได้ g (2 x + 3) = 8 x^{3} + 44 x^{2} + 80 x + 48 \to 1$

$กำหนดให้ a = 2 x + 3 x = \frac{a - 3}{2}; แทนใน 1 จะได้ g (a) = 8 {(\frac{a - 3}{2})}^{3} + 44 {(\frac{a - 3}{2})}^{2} + 80 (\frac{a - 3}{2}) + 48$

$แทน x = a จะได้ g (x) = 8 {(\frac{x - 3}{2})}^{3} + 44 {(\frac{x - 3}{2})}^{2} + 80 (\frac{x - 3}{2}) + 48 = {(x - 3)}^{3} + 11 {(x - 3)}^{2} + 40 (x - 3) + 48 = (x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27) + (11 x^{2} - 66 x + 99) + (40 x - 120) + 48 = x^{3} + 2 x^{2} + x$

$จะได้ f (g (x)) = f (x^{3} + 2 x^{2} + x) = 2 (x^{3} + 2 x^{2} + x) + 3 = 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 3$

$ดังนั้น \int_{0}^{6} 𝑓 (g (x)) d x = \int_{0}^{6} 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 3 d x = {\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + x^{2} + 3 x}_{0}^{6} = \frac{6^{4}}{2} + \frac{4 {(6)}^{3}}{3} + 6^{2} + 3 (6) = \frac{1296}{2} + \frac{864}{3} + 36 + 18 = 990$