ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 29

กำหนดให้สมการจุดประสงค์ $P = ax + by$ เมื่อ $0 < a < b \leq 2 a$ และอสมการข้อจำกัด ดังนี้

$x + 3 y \leq 12 x + y \geq 4 3 y - x \geq 6$

และ $x \geq 0, y \geq 0$

ถ้าค่ามากที่สุดของ $P$ เท่ากับ $15$ และค่าน้อยท่ีสุดของ $P$ เท่ากับ $10.5$

แล้วค่าของ $a^{2} + b^{2}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$5$
2
$10$
3
$13$
4
$20$
5
$25$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$เปลี่ยนอสมการเป็นสมการ$

สมการ	จุดตัดแกน x	จุดตัดแกน y	ทิศทาง
x+3y = 12	(12,0)	(0,4)	เข้า (0,0)
x+y = 4	(4,0)	(0,4)	ออก (0,0)
3y-x = 6	(-6,0)	(0,2)	ออก (0,0)

$จากโจทย์ x \geq 0, y \geq 0 แสดงว่า พื้นที่อยู่ควอดแดนซ์ที่ 1 (Q_{1})$

$จากกราฟ จุด A, จุด B, จุด C คือ จุดมุม จะได้ - จุด A คือ A (0, 4) - จุด B คือ จุดตัด x + 3 y = 12 กับ 3 y - x = 6 จะได้ B (3, 3) - จุด C คือ จุดตัด x + y = 4 กับ 3 y - x = 6 จะได้ C (1.5, 2.5)$

$จากโจทย์ สมการจุดประสงค์ P = a x + b y เมื่อ 0 < a < b \leq 2 a$

จุดมุม	P=ax+by
$A (0, 4)$	$P_{1} = a (0) + b (4) = 4 b$
$B (3, 3)$	$P_{2} = a (3) + b (3) = 3 a + 3 b$
$C (1.5, 2.5)$	$P_{3} = a (1.5) + b (2.5) = 1.5 a + 2.5 b$

$โดย 0 < a < b \leq 2 a กำหนดให้ b = 2 a - แทนค่า b = 2 a ใน P = a x + b y จะได้ P_{1} = 4 b = 4 (2 a) = 8 a P_{2} = 3 a + 3 b = 3 a + 3 (2 a) = 9 a P_{3} = 1.5 a + 2.5 (2 a) = 6.5 a แสดงว่า P_{2} = ค่ามากที่สุด P_{3} = ค่าน้อยที่สุด$

$จากโจทย์ ค่ามากที่สุดของ P เท่ากับ 15 ค่าน้อยที่สุดของ P เท่ากับ 10.5 จะได้ P_{2} = 15 P_{3} = 10.5 3 a + 3 b = 15 1.5 a + 2.5 b = 10.5 a + b = 5 \to 1 3 a + 5 b = 21 \to 2$