ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 10

ให้ $y = f (x)$ เป็นเส้นโค้งผ่านจุด $(0, 1)$ และจุด $(1, 1)$ และเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุด $(x, y)$ ใดๆ

มีความชันเท่ากับ ${ax}^{2} + bx + c$ เมื่อ $a, b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $f' (0) = 1$ และ $f'' (1) = 2$

แล้วฟังก์ชัน $f$ มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{11}{27}$
2
$\frac{13}{27}$
3
$\frac{31}{27}$
4
$\frac{34}{27}$
5
$\frac{43}{27}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ เส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุด (x, y) ใดๆ มีความชันเท่ากับ a x^{2} + b x + c แสดงว่า f' (x) = a x^{2} + b x + c \to 1 f'' (x) = 2 a x + b \to 2$

$จากโจทย์ f' (0) = 1 จาก 1 จะได้ f' (0) = a {(0)}^{2} + b (0) + c 1 = c; แทนใน 1 จากโจทย์ f'' (1) = 2 จาก 2 จะได้ f'' (1) = 2 a (1) + b 2 = 2 a + b b = 2 - 2 a; แทนใน 1$

$- จาก 1 แทนค่า c, b จะได้ f (x) = a x^{2} + (2 - 2 a) x + 1 \int f' (x) d x = \int [a x^{2} + (2 - 2 a) x + 1] d x f (x) = \frac{a x^{3}}{3} + (2 - 2 a) \frac{x^{2}}{2} + x + d \to 3$

$จากโจทย์ y = f (x) ผ่านจุด (0, 1) และจุด (1, 1) - แทน x = 0, y = 1 ใน 3 จะได้ 1 = a \frac{{(0)}^{3}}{3} + (2 - 2 a) \frac{0^{2}}{2} + 0 + d 1 = d$

$- แทน x = 1, y = 1 ใน 3 จะได้ 1 = a \frac{{(1)}^{3}}{3} + (2 - 2 a) \frac{1^{2}}{2} + 1 + 1 1 = \frac{a}{3} + (2 - 2 a) \frac{1}{2} + 2 1 = \frac{a}{3} + 1 - a + 2 a = 3$

$- จาก 3 แทนค่า d, a จะได้ f (x) = 3 \frac{x^{3}}{3} + [2 - 2 (3)] \frac{x^{2}}{2} + x + 1 f (x) = x^{3} - 4 \frac{x^{2}}{2} + x + 1 f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1 \to 4 f' (x) = 3 x^{3} - 4 x + 1$

$หาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ \to f' (x) = 0 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0 (3 x - 1) (x - 1) = 0 x = \frac{1}{3}, 1$

$จะได้ f (\frac{1}{3}) เป็นค่าสูงสุด - แทน x = \frac{1}{3} ใน 4 จะได้ f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{2} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{27} - 2 (\frac{1}{9}) + \frac{1}{3} + 1 = \frac{31}{27}$