ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{กล่องใบหนึ่งมีลูกบอล} 3 \mathrm{สี} \mathrm{สีละ} n \mathrm{ลูก} \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{จำนวนลูกบอลทั้งหมด} =3n \mathrm{ลูก} \\ \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{สุ่มหยิบลูกบอล} 3 \mathrm{ลูก} \mathrm{โดยหยิบทีละลูก} \\ \mathrm{แบบไม่ใส่กลับคืน} \\ \mathrm{จะได้} n\left(S\right) = 3n\left(3n-1\right)\left(3n-2\right) \mathrm{วิธี} \to \boxed{1} \\ \mathrm{จากโจทย์} \\ - \mathrm{ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีละลูกเท่ากับ} \frac{2}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{หา} \mathrm{จำนวนวิธีที่จะได้ลูกบอลสีละลูก} \to n\left(E\right) \\ - \mathrm{ลูกแรก} \mathrm{หยิบ} 1 \mathrm{ลูก} \mathrm{จาก} 3n \mathrm{จะได้} \left(\begin{array}{c}3n\\ 1\end{array}\right) \\ - \mathrm{ลูกที่สอง} \mathrm{หยิบ} 1 \mathrm{ลูก} \mathrm{จาก} 2n (\mathrm{เหลือ} 2 \mathrm{สี}) \mathrm{จะได้} \left(\begin{array}{c}2n\\ 1\end{array}\right) \\ - \mathrm{ลูกที่สาม} \mathrm{หยิบ} 1 \mathrm{ลูก} \mathrm{จาก} n (\mathrm{เหลือ} 1 \mathrm{สี}) \mathrm{จะได้} \left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right) \\ \mathrm{ดังนั้น} n\left(E\right) = \left(\begin{array}{c}3n\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2n\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right) \mathrm{วิธี} \\ n\left(E\right) = 3n\left(2n\right)\left(n\right) \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} - \mathrm{ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีละลูกเท่ากับ} \frac{2}{5} \to P\left(E\right) \\ \mathrm{จะได้} P\left(E\right) = \frac{n\left(E\right)}{n\left(S\right)} \\ \frac{2}{5} = \frac{\cancel{3n}\left(2n\right)\left(n\right)}{\cancel{3n}\left(3n-1\right)\left(3n-2\right)} \\ \left(3n-1\right)\left(3n-2\right) = 5n\left(n\right) \\ 9n^2-9n+2 = 5n^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 4n^2-9n+2 = 0 \\ \left(4n-1\right)\left(n-2\right) = 0 \\ n = \frac{1}{4} , 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} - \mathrm{แต่} n \mathrm{เป็นจำนวนเต็มบวก} \\ \mathrm{แสดงว่า} n=2 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{มีลูกบอล} 3 \mathrm{สี} \mathrm{สีละ} 2 \mathrm{ลูก} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} n\left(S\right) = 6\left(5\right)\left(4\right) \\ \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอล} 3 \mathrm{ลูก} \\ \mathrm{โดยมีเพียง} 2 \mathrm{สีเท่านั้นเท่ากับ} ? \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{หา} \mathrm{จำนวนวิธีที่จะได้ลูกบอล} 3 \mathrm{ลูก} \mathrm{โดยมีเพียง} 2 \mathrm{สี} \\ \to n\left(E\right) \\ - \mathrm{ลูกบอล} 3 \mathrm{สี} \mathrm{เลือกมา} 2 \mathrm{สี} \mathrm{จะได้} \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right) \\ - \mathrm{สีแรก} ; \mathrm{ลูกบอล} 2 \mathrm{ลูก} \mathrm{เลือก} 1 \mathrm{ลูก} \mathrm{จะได้} \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right) \\ - \mathrm{สีที่สอง} ; \mathrm{ลูกบอล} 2 \mathrm{ลูก} \mathrm{เลือก} 2 \mathrm{ลูก} \mathrm{จะได้} \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right) \\ - \mathrm{สลับลูกบอลทั้ง} 3 \mathrm{ลูก} \mathrm{จะได้} 3! \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} n\left(E\right) = \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)3! \\ n\left(E\right) = 3\left(2\right)\left(2\right)3! \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} - \mathrm{ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอล} 3 \mathrm{ลูก} \\ \mathrm{โดยมีเพียง} 2 \mathrm{สีเท่านั้น} \mathrm{เท่ากับ} \\ P\left(E\right) = \frac{n\left(E\right)}{n\left(S\right)} \\ = \frac{3\left(2\right)\left(2\right)3!}{6\left(5\right)\left(4\right)} \\ = \frac{3}{5} = \frac{9}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathbf{วิธีที่}\mathbf{ }\mathbf{2}} \mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathbf{คิดจากเหตุการณ์ตรงข้าม}\mathbf{\right)} \\ P\left(E\right) = 1-P\text{'}\left(E\right) \to \boxed{1} \\ - \mathrm{โดย} P\text{'}\left(E\right) = P( \mathrm{ได้สีเดียว} )+P( \mathrm{ได้} 3 \mathrm{สี} ) \to \boxed{2} \\ P( \mathrm{ได้สีเดียว} ) = 0 \mathrm{เป็นไปไม่ได้} \\ \mathrm{เพราะแต่ละสีมีเพียง} 2 \mathrm{ลูก} \\ P( \mathrm{ได้} 3 \mathrm{สี} ) = \frac{2}{5} ( \mathrm{จากข้อมูลในโจทย์} ) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{2} \mathrm{จะได้} P\text{'}\left(E\right) = 0+\frac{2}{5} \\ = \frac{2}{5} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{จะได้} P\text{'}\left(E\right) = 1-\frac{2}{5} \\ = \frac{3}{5} = \frac{9}{15} \end{gathered}$$