ข้อสอบคณิต 9 สามัญ - ปี 2562

ข้อ 20

กำหนดให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n}, . . .$ เป็นลำดับเรขาคณิต ถ้า $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 1$ และ $\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} a_{n} = - \frac{2}{3}$

แล้ว $\sum_{n = 1}^{\infty} {a_{n}}^{2}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{1}{3}$
2
$\frac{4}{9}$
3
$\frac{2}{3}$
4
$1$
5
$\frac{4}{3}$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n} เป็นลำดับเรขาคณิต \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 1 \frac{a_{1}}{1 - r} = 1 a_{1} = 1 (1 - r) \to 1$

$จากโจทย์ \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} a_{n} = \frac{- 2}{3} (- a_{1}) + a_{2} + (- a_{3}) + a_{4} + . . . = \frac{- 2}{3}$

$- มีอัตราส่วนร่วม = - r, พจน์แรก = - a_{1} จะได้ \frac{- a_{1}}{1 - (- r)} = \frac{- 2}{3} \frac{a_{1}}{1 + r} = \frac{2}{3} 3 a_{1} = 2 (1 + r)$

$- แทน a_{1} จาก 1 จะได้ 3 (1 - r) = 2 (1 + r) 3 - 3 r = 2 + 2 r r = \frac{1}{5}; แทนใน 1$

$จะได้ a_{1} = 1 - \frac{1}{5} a_{1} = \frac{4}{5} จากโจทย์ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2} มีค่าเท่ากับข้อใด$
$- โดย \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + . . . = a_{1}^{2} + {(a_{1} r)}^{2} + {(a_{2} r)}^{2} + . . . = a_{1}^{2} + a_{1}^{2} r^{2} + a_{2}^{2} r^{2} + . . . - มีอัตราส่วนร่วม = r^{2}, พจน์แรก = a_{1}^{2}$

$จะได้ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2} = \frac{a_{1}^{2}}{1 - r^{2}} = \frac{{(\frac{4}{5})}^{2}}{1 - {(\frac{1}{5})}^{2}} = \frac{\frac{16}{25}}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{\frac{16}{25}}{\frac{24}{25}} = \frac{2}{3}$