ข้อสอบคณิต 9 สามัญ - ปี 2562

$$\begin{gathered} - \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ถ้า} x+2 \mathrm{หาร} P\left(x\right) \mathrm{เหลือเศษ} 2 \\ \mathrm{จะได้ว่า} P\left(-2\right)=2 \\ \mathrm{นั่นคือ} {\left(-2\right)}^3+a{\left(-2\right)}^2+b\left(-2\right)+2 = 2 \\ -8+4a-2b = 0 \\ 4a-2b = 8 \\ 2a-b = 4 \\ \therefore b = 2a-4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} - \mathrm{จากโจทย์} P\left(x\right) = x^3+a{x}^2+bx+2 \\ \therefore P\left(x\right) = x^3+a{x}^2+\left(2a-4\right)x+2 \to ⊛ \\ \mathrm{โจทย์ให้} P\left(x\right) = 0 \\ \mathrm{ดังนั้น} x^3+a{x}^2+\left(2a-4\right)x+2 = 0 \\ \bullet \mathrm{พิจารณาการแยกตัวประกอบของสมการพหุนาม} \mathrm{โดยการหารสังเคราะห์} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{ccccc}& 1& a& \left(2a-4\right)& 2\end{array}\begin{array}{cccc}& & & \end{array}1 \\ \bullet \mathrm{คำตอบของสมการ} \mathrm{จะพิจารณาจากตัวประกอบ} \\ \mathrm{ของ} \mathrm{สปส}. \mathrm{พจน์} x^0 \mathrm{นั่นคือ} 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \therefore \mathrm{ตัวประกอบของ} 2 \mathrm{คือ} \pm 1, \pm 2 \\ \mathrm{จะได้ว่า} P\left(1\right) = 0 \mathrm{ถูก} \\ P\left(-1\right) = 0 \mathrm{ถูก} \\ P\left(2\right) = 0 \mathrm{ถูก} \\ P\left(-2\right) = 0 \mathrm{ผิด} \\ \bullet \mathrm{แต่โจทย์กำหนดให้} \left[P\left(-2\right)=2\right] \ne 0 \\ \mathrm{ดังนั้น} x=-2 \mathrm{ไม่ใช่คำตอบของสมการ} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \bullet \mathrm{เมื่อ} P\left(1\right) = 0 \\ \mathrm{จาก} ⊛ \mathrm{จะได้} 1^3+a{\left(1\right)}^2+\left(2a-4\right)\left(1\right)+2 = 0 \\ 1+a+2a-4+2 = 0 \\ 3a-1 = 0 \\ a = \frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \bullet \mathrm{เมื่อ} P\left(-1\right) = 0 \\ \mathrm{จาก} ⊛ \mathrm{จะได้} {\left(-1\right)}^3+a{\left(-1\right)}^2+\left(2a-4\right)\left(-1\right)+2 = 0 \\ -1+a-2a+4+2 = 0 \\ -a+5 = 0 \\ a = 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \bullet \mathrm{เมื่อ} P\left(2\right) = 0 \\ \mathrm{จาก} ⊛ \mathrm{จะได้} 2^3+a{\left(2\right)}^2+(2a-4)\left(2\right)+2 = 0 \\ 8+4a+4a-8+2 = 0 \\ 8a+2 = 0 \\ 8a = -2 \\ a = -\frac{1}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} - \mathrm{เนื่องจาก} a \mathrm{ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก} \\ \therefore a=5 \\ - \mathrm{จาก} b = 2a-4 \\ \mathrm{จะได้} b = 2\left(5\right)-4 \\ \therefore b = 6 \\ \mathrm{ดังนั้น} a+b = 5+6 = 11 \end{gathered}$$