ข้อสอบคณิต 9 สามัญ - ปี 2555

ข้อ 30

กำหนดให้ M=abcd  a,b,c,d-1,0,1 

ถ้าสุ่มเลือกเมทริกซ์หนึ่งเมทริกซ์จากเซต M แล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ที่มีอินเวอร์สการคูณมีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

จากโจทย์สุ่มเลือกเมทริกซ์หนึ่งเมทริกซ์จากเซต Mจะได้         nS=3×3×3×3=81 วิธีจากโจทย์ ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ที่มีอินเวอร์สการคูณหา nE ที่จะได้เมทริกซ์ที่มีอินเวอร์สการคุณจากสูตร   อินเวอร์สการคูณA-1=1det Aadj A                                              M-1=1det Madj Mแสดงว่า เมทริกซ์ที่มีอินเวอร์สการคูณ ต้องมี det M0

จากโจทย์M=abcdจะได้ det M=ad-bc         ถ้า det M=0ad-bc=0                                            ad=bcจะได้ เมทริกซ์ที่ไม่มีอินเวอร์สการคูณ

กรณี 1 ad=bc=-1จะได้ แต่ละคู่เป็น -1,1 หรือ 1,-1 เป็น 2 วิธี          รวม 2×2=4 วิธีกรณี 2 ad=bc=0จะได้ แต่ละคู่เป็น 0,0 หรือ 0,-1 หรือ 0,1          หรือ -1,0 หรือ 1,0 เป็น 5 วิธี          รวม 5×5=25 วิธ

กรณี 3 ad=bc=1จะได้ แต่ละคู่เป็น 1,1 หรือ -1,-1 เป็น 2 วิธี          รวม 2×2=4 วิธี

ดังนั้น เมทริกซ์ที่ไม่มีอินเวอร์สการคูณ =4+25+4                                                                  =33 วิธีโดย เมทริกซ์ที่มีอินเวอร์ส=ทั้งหมด-เมทริกซ์ที่ไม่มีอินเวอร์สnE=81-33nE=48จากสูตร PE=nEnS                       =4881ดังนั้น ความน่าจะเป็นเท่ากับ 4881

ปิด
ทดลองเรียน