ข้อสอบคณิต O-NET - 2558

ข้อ 8

ถ้า $a = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ แล้ว $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ มีค่าเท่าใด

1
$10$
2
$20 \sqrt{6}$
3
$40 \sqrt{6}$
4
$49$
5
$98$

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร {(น \pm ล)}^{2} = น^{2} \pm 2 นล + ล^{2} (น - ล) (น + ล) = น^{2} - ล^{2}$

$จะได้ a^{2} = {(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}})}^{2} = \frac{{(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}}{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}} = \frac{3 + 2 \sqrt{3} \sqrt{2} + 2}{3 - 2 \sqrt{3} \sqrt{2} + 2} = \frac{5 + 2 \sqrt{6}}{5 - 2 \sqrt{6}}$

$จะได้ a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{5 + 2 \sqrt{6}}{5 - 2 \sqrt{6}} + \frac{5 - 2 \sqrt{6}}{5 + 2 \sqrt{6}} = \frac{{(5 + 2 \sqrt{6})}^{2} + {(5 - 2 \sqrt{6})}^{2}}{(5 - 2 \sqrt{6}) (5 + 2 \sqrt{6})} = \frac{25 + 20 \sqrt{6} + 24 + 25 - 20 \sqrt{6} + 24}{25 - 24} = 98 ดังนั้น ตอบข้อ 5$