ข้อสอบ PAT1 - มีนาคม 60 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

$สูตรอนุกรมเรขาคณิต a_{n} = a_{1} r^{n - 1} a_{n} = a_{x} r^{n - x} จากโจทย์ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n} เป็นลำดับเรขาคณิต โดยที่ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = L$

$สูตรอนุกรมอนันต์ของลำดับเรขาคณิต S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} เมื่อ |r| < 1 โดย S_{\infty} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} จะได้ L = \frac{a_{1}}{1 - r} \to 1$

$จากโจทย์ \sum_{n = 1}^{3} a_{n} = \frac{L}{3} สูตรอนุกรมจำกัดของลำดับเรขาคณิต S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} เมื่อ |r| < 1 โดย S_{\infty} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} จะได้ \frac{L}{3} = \frac{a_{1} (1 - r^{3})}{1 - r} \to 2$

$นำ \frac{1}{2} จะได้ \frac{L}{\frac{L}{3}} = \frac{\frac{a_{1}}{1 - r}}{\frac{a_{1} (1 - r^{3})}{1 - r}} 3 = \frac{1}{1 - r^{3}} 1 - r^{3} = \frac{1}{3} r^{3} = \frac{2}{3} r = {(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}}$

$พิจารณาตัวเลือก 1 . a_{4} = a_{1} r^{3} = a_{1} {[{(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}}]}^{3} = \frac{2}{3} a_{1} ข้อ (1) ถูก$

$2 . a_{14} = a_{2} r^{12} = a_{2} {[{(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}}]}^{12} = \frac{16}{81} a_{2} ข้อ (2) ถูก 3 . จากโจทย์ 3 (a_{7} + a_{8} + a_{9}) = 2 (a_{4} + a_{5} + a_{6}) พิจารณาฝั่งซ้าย$
$จะได้ 3 (a_{7} + a_{8} + a_{9}) = 3 (a_{4} r^{3} + a_{5} r^{3} + a_{6} r^{3}) = 3 r^{3} (a_{4} + a_{5} + a_{6}) = 3 {[{(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}}]}^{3} (a_{4} + a_{5} + a_{6}) = 3 (\frac{2}{3}) (a_{4} + a_{5} + a_{6}) = 2 (a_{4} + a_{5} + a_{6}) ข้อ (3) ถูก$

$4 . \sum_{n = 7}^{12} a_{n} = a_{7} + a_{8} + . . . + a_{12} = (a_{1} r^{6} + a_{2} r^{6} + a_{3} r^{6}) + (a_{1} r^{9} + a_{2} r^{9} + a_{3} r^{9}) = (a_{1} + a_{2} + a_{3}) r^{6} + (a_{1} + a_{2} + a_{3}) r^{9} = (a_{1} + a_{2} + a_{3}) (r^{6} + r^{9})$

$= \frac{L}{3} ({[{(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}}]}^{6} + {[{(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}}]}^{9}) = \frac{L}{3} (\frac{4}{9} + \frac{8}{27}) = \frac{20 L}{81} ข้อ (4) ผิด 5 . \sum_{n = 10}^{\infty} a_{n} = a_{10} + a_{11} + . . . = \frac{a_{10}}{1 - r}$

$= \frac{a_{1} r^{9}}{1 - r} = (\frac{a_{1}}{1 - r}) r^{9} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} {[{(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}}]}^{9} = L (\frac{8}{27}) = \frac{8}{27} ข้อ (5) ถูก$