ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2560

ข้อ 6

ให้ $\bar{u}, \bar{v}$ และ $\bar{w}$ เป็นเวกเตอร์ที่ไม่เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์อยู่บนระนาบเดียวกัน โดยที่ $\bar{u} - \bar{v} - \bar{w} = \bar{0}, |\bar{u}| = \sqrt{2} |\bar{w}|$ และ $|\bar{v}| = \sqrt{3} |\bar{w}|$ ถ้า $θ$ เป็นมุมระหว่าง $\bar{u}$ และ $\bar{v}$ แล้ว $\sin θ$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{1}{2}$
2
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
3
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
4
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
5
$\frac{1}{3}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \bar{u}, \bar{v} และ \bar{w} เป็นเวกเตอร์ โดยที่ \bar{u} - \bar{v} - \bar{w} = \bar{0} แสดงว่า \bar{w} = \bar{u} - \bar{v} วาดรูปสามเหลี่ยม เพื่อความเข้าใจมากขึ้น$

$โดย θ = มุมระหว่าง \bar{u} และ \bar{v} จากโจทย์ |\bar{u}| = \sqrt{2} |\bar{w}| และ |\bar{v}| = \sqrt{3} |\bar{w}| กำหนดให้ |\bar{w}| = a จะได้ |\bar{u}| = 2 a และ |\bar{v}| = \sqrt{3} a - วาดรูปสามเหลี่ยม$

$จะเห็นว่า {(\sqrt{3} a)}^{2} = {(\sqrt{2} a)}^{2} + a^{2} 3 a^{2} = 2 a^{2} + a^{2} แสดงว่า เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก (มุมตรงข้ามด้าน \sqrt{3} a เป็นมุมฉาก)$

$ดังนั้น \sin θ = \frac{a}{\sqrt{3} a} = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$