ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2560

ข้อ 45

ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก กำหนดให้ $P = a x - 15 y$ เป็นฟังก์ชันจุดประสงค์ โดยมีอสมการข้อจำกัด ดังนี้

$3 x + b y \geq 9$

$3 x + 2 b y \leq 18$

$1 \leq x \leq 5$ และ $y \geq 0$

ถ้าค่าของ $P$ มีค่าน้อยที่สุด เท่ากับ $- 8.25$ และ ค่าของ $P$ มีค่ามากที่สุดเท่ากับ $15$ แล้วค่าของ $a^{2} + b^{2}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ อสมการข้อจำกัด 1 \leq x \leq 5 และ y \leq 0 แสดงว่า พื้นที่ของอสมการข้อจำกัด ต้องอยู่ควอรันต์ที่ 1 (Q_{1}) จากโจทย์ อสมการข้อจำกัด 3 x + b y \geq 9 3 x + 2 b y \leq 18$

$- เปลี่ยนอสมการเป็นสมการ จะได้ 3 x + b y \geq 9 \to 3 x + b y = 9 \to 1 3 x + 2 b y \leq 18 \to 3 x + 2 b y = 18 \to 2 1 \leq x \leq 5 \to x = 1, x = 5 \to 3 y \geq 0 \to y = 0 \to 4$

$หาจุดตัดของสมการแต่ละคู่ 1 กับ 3 (1, \frac{6}{b}), (5, \frac{- 6}{b}) 1 กับ 4 (3, 0) 2 กับ 3 (1, \frac{15}{2 b}), (5, \frac{3}{2 b}) 2 กับ 4 (6, 0) 3 กับ 4 (1, 0), (5, 0) 1 กับ 2 (0, \frac{9}{b})$

$อสมการ$	$ทิศทาง$
$3 x + b y ⩾ 9$ $3 x + 2 b y \leq 18$	$วิ่งออก (0, 0)$ $วิ่งเข้า (0, 0)$

อสมการ

ทิศทาง

$3 x + b y ⩾ 9$

$3 x + 2 b y \leq 18$

$วิ่งออก (0, 0)$

$วิ่งเข้า (0, 0)$

$วาดกราฟอสมการข้อจำกัด$

$จุดมุม$	$P = a x - 15 y$
$(3, 0) (5, 0) (5, \frac{3}{2 b}) (1, \frac{15}{2 b}) (1, \frac{6}{b})$	$P = a (3) - 15 (0) = 3 a P = a (5) - 15 (0) = 5 a P = a (5) - 15 (\frac{3}{2 b}) = 5 a - \frac{45}{2 b} P = a (1) - 15 (\frac{15}{2 b}) = a - \frac{225}{2 b} P = a (1) - 15 (\frac{6}{b}) = a - \frac{90}{b}$

$จากตารางหาค่า P_{m i n} และ P_{m a x} จะได้ P_{m i n} = a - \frac{225}{2 b} \to P ค่าน้อยที่สุด P_{m a x} = 5 a \to P ค่ามากที่สุด จากโจทย์ P มีค่ามากที่สุดเท่ากับ 15 จะได้ P_{m a x} = 15 5 a = 15 a = 3$

$จากโจทย์ P มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับ - 8.25 จะได้ P_{m i n} = - 8.25 a - \frac{225}{2 b} = - 8.25 3 - \frac{225}{2 b} = - 8.25 11.25 = \frac{225}{2 b} b = 10 ดังนั้น a^{2} + b^{2} = {(3)}^{2} + {(10)}^{2} = 109$