ข้อสอบ PAT1 - มีนาคม 60 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

$ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ x = a ก็ต่อเมื่อ 1 . \lim_{x \to a} f (x) หาค่าได้ \to \lim_{x \to a^{-}} f (x) = \lim_{x \to a^{+}} f (x) = \lim_{x \to a} f (x) 2 . f (a) หาค่าได้ 3 . \lim_{x \to a} f (x) = f (a) \to A ต้องเป็นจริงทั้ง 3 ข้อ$

$จากโจทย์ f (x) = \{\begin{cases} x + \sqrt{x^{2} + 5} & , x \geq a \to 1 \\ \frac{15}{\sqrt{x^{2} + 5}} & , x < a \to 2 \end{cases} หา \underset{x \to a^{-}}{l i m} f (x) (เงื่อนไข 2) จะได้ \lim_{x \to a^{-}} f (x) = \lim_{x \to a^{-}} \frac{15}{\sqrt{x^{2} + 5}} = \frac{15}{\sqrt{a^{2} + 5}}$

$หา f (a) (เงื่อนไข 1) จาก 1 f (x) = x + \sqrt{x^{2} + 5} จะได้ f (a) = a + \sqrt{a^{2} + 5} จาก A \lim_{x \to a} f (x) = f (a); \lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a^{-}} f (x)$
$จะได้ \lim_{x \to a^{-}} f (x) = f (a) \frac{15}{\sqrt{a^{2} + 5}} = a + \sqrt{a^{2} + 5} \to 3 15 = \sqrt{a^{2} + 5} (a + \sqrt{a^{2} + 5}) 15 = a \sqrt{a^{2} + 5} + (a^{2} + 5) - a^{2} + 10 = a \sqrt{a^{2} + 5}; ยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้าง {(- a^{2} + 10)}^{2} = {(a \sqrt{a^{2} + 5})}^{2} a^{4} - 20 a^{2} + 100 = a^{2} (a^{2} + 5) a^{4} - 20 a^{2} + 100 = a^{4} + 5 a^{2} 100 = 25 a^{2} a^{2} = 4 \to a = \pm \sqrt{4} = \pm 2 a = - 2, 2$

$ตรวจคำตอบ โดยแทนค่า a ลงใน 3 แทน a = - 2 \frac{15}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + 5}} = - 2 + \sqrt{{(- 2)}^{2} + 5} \frac{15}{\sqrt{9}} = - 2 + \sqrt{9} \frac{15}{3} = - 2 + 3 5 \neq 1 ดังนั้น a = - 2 เป็นไปไม่ได้$

$แทน a = 2 \frac{15}{\sqrt{{(2)}^{2} + 5}} = 2 + \sqrt{{(2)}^{2} + 5} \frac{15}{\sqrt{9}} = 2 + \sqrt{9} \frac{15}{3} = 2 + 3 5 = 5 ดังนั้น ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ x = a = 2 - แทนค่า a = 2 ใน f (x)$

$จะได้ f (x) = \{\begin{cases} x + \sqrt{x^{2} + 5} & , x \geq 2 \to 1 \\ \frac{15}{\sqrt{x^{2} + 5}} & , x < 2 \to 2 \end{cases} หา f (2) \to เงื่อนไข 1 จะได้ f (2) = 2 + \sqrt{2^{2} + 5} = 2 + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$

$หา f (- 2) \to เงื่อนไข 2 จะได้ f (- 2) = \frac{15}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + 5}} = \frac{15}{\sqrt{9}} = \frac{15}{3} = 5 ดังนั้น ค่าของ f (a) + f (- a) = 5 + 5 = 10$