ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2560

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} ABC \mathrm{เป็นรูปสามเหลี่ยม} \mathrm{โดยมี} A, B \mathrm{และ} C \mathrm{เป็นจุดยอด} \\ \mathrm{ให้} \overline{a}=\overline{AB} , \overline{b}=\overline{BC} \mathrm{และ} \overline{c}=\overline{CA} \\ -\mathrm{วาดรูปสามเหลี่ยม} ABC \end{gathered}$$
              
$$\begin{gathered} \mathrm{แสดงว่า} \overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA} = 0 \\ a+b+c = 0 \to \boxed{1} \\ \underline{\mathrm{หาด้าน} a} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} a+b+c = 0 ; \mathrm{ดอท} a \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} \\ a·\left(a+b+c\right) = a·0 \\ a· a+a·b+a·c = 0 ; \mathrm{โดย} a·c = c·a \\ a· a+a·b+c·a = 0 ; \mathrm{แทนค่า} a·b \mathrm{และ} c·a \\ \mathrm{จะได้} a· a+\left(-15\right)+\left(-10\right) = 0 \\ a·a = 25 ; \mathrm{โดย} a·a = {\left|a\right|}^2 \\ {\left|a\right|}^2 = 25 \\ \left|a\right| = 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{ \mathrm{หาด้าน} b} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} a+b+c = 0 ; \mathrm{ดอท} b \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} \\ b·\left(a+b+c\right) = b·0 \\ b·a+b·b+b·c = 0 ; \mathrm{โดย} b·a = a·b \\ a·b+b·b+b·c = 0 ; \mathrm{แทนค่า} a·b \mathrm{และ} b·c \\ \left(-15\right)+b·b+\left(-21\right) = 0 ; \mathrm{โดย} b·b={\left|b\right|}^2 \\ {\left|b\right|}^2 = 36 \\ \left|b\right| = 6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{หาด้าน} c} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} a+b+c = 0 ; \mathrm{ดอท} c \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} \\ c·\left(a+b+c\right) = c·0 \\ c·a+c·b+c·c = 0 ; \mathrm{โดย} c·b = b·c \\ \left(-10\right)+\left(-21\right)+c·c = 0 ; \mathrm{โดย} c·c={\left|c\right|}^2 \\ {\left|c\right|}^2 = 31 \\ \left|c\right| = \sqrt{31} \\ \mathrm{วาดรูปสามเหลี่ยม} ABC \end{gathered}$$
           
$$\begin{gathered} \mathrm{กำหนดให้} h = \mathrm{ความสุงของสามเหลี่ยม} ABC \\ x = \mathrm{ความยาวด้าน} AD \\ \mathbf{หา}\mathbf{ }\mathit{h} \\ ADC \mathrm{เป็น} ∆ \mathrm{มุมฉาก} \mathrm{จะได้} {\left(\sqrt{31}\right)}^2 = h^2+x^2 \\ h^2 = 31-x^2 \to \boxed{2} \\ CDB \mathrm{เป็น} ∆ \mathrm{มุมฉาก} \mathrm{จะได้} 6^2 = h^2+{\left(5-x\right)}^2 \\ h^2 = 36-{\left(5-x\right)}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} h^2 = h^2 \\ 31-x^2 = 36-{\left(5-x\right)}^2 \\ 31-\cancel{{\mathit{x}}^{\mathit{2}}} = 36-25+10x-\cancel{{\mathit{x}}^{\mathit{2}}} \\ x = 2 ; \mathrm{แทนใน} \boxed{2} \\ \mathrm{จาก} \boxed{2} \mathrm{จะได้} h^2 = 31-2^2 = 27 \\ h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม} ABC = \frac{1}{2}\times \mathrm{ฐาน}\times \mathrm{สูง} \\ = \frac{1}{2}\times \left|\overline{AB}\right|\times h \\ = \frac{1}{2}\times 5\times 3\sqrt{3} \\ = \frac{15\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$