ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2560

ข้อ 11

ให้ $x > 0$ และให้ $S$ แทนอนุกรม $\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} {(\log x)}^{n}$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ถ้า $x < 10$ แล้วอนุกรม $S$ เป็นอนุกรมลู่เข้า

(ข) ถ้า $x = 100$ แล้วอนุกรม $S$ เป็นอนุกรมลู่ออก

(ค) ถ้า $x = \frac{1}{10}$ แล้วผลบวก $100$ พจน์แรกของอนุกรม $S$ เท่ากับ $- 100$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ S แทนอนุกรม \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} {(\log x)}^{n} ลองแทน n = 1, 2, 3 จะเห็นว่า \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} {(\log x)}^{n} เป็นอนุกรมเรขาคณิต$

$จะได้ r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} เมื่อ r = อัตราส่วนร่วม r = \frac{{(- 1)}^{n + 1 + 1} {(\log x)}^{n + 1}}{{(- 1)}^{n + 1} {(\log x)}^{n}} r = \frac{{(- 1)}^{n + 2} {(\log x)}^{n + 1}}{{(- 1)}^{n + 1} {(\log x)}^{n}} ดังนั้น r = (- 1) \log x \to 1 พิจารณาข้อความ S_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} {(\log x)}^{n} \to 2 จะเป็นอนุกรมลู่เข้า เมื่อ |r| < 1$

$(ก) จากโจทย์ ถ้า x < 10 แล้วอนุกรม S เป็นอนุกรมลู่เข้า กำหนดให้ x = \frac{1}{10} (จากโจทย์ x > 0) จาก 1 จะได้ r = (- 1) \log x r = (- 1) \log \frac{1}{10} r = (- 1) \log 10^{- 1} r = (- 1) (- 1) = 1 ดังนั้น อนุกรม S เป็นอนุกรมลู่เข้า ข้อ (ก) ผิด$

$(ข) จากโจทย์ ถ้า x = 100 แล้วอนุกรม S เป็นอนุกรมลู่ออก จาก 1 จะได้ r = (- 1) \log x r = (- 1) \log 100 = (- 1) \log 10^{2} r = (- 1) (2) = - 2 |r| = |- 2| = 2 แต่ |r| > 1 จึงไม่เป็นอนุกรมลู่เข้า ดังนั้น อนุกรม S เป็นอนุกรมลู่ออก ข้อ (ข) ถูก$

$(ค) จากโจทย์ ถ้า x = \frac{1}{10} แล้วผลบวก 100 พจน์แรกเท่ากับ - 100 จาก 2 S_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} {(\log x)}^{n}; แทน x = \frac{1}{10} จะได้ S_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} {[(\log \frac{1}{10})]}^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} {(\log 10^{- 1})}^{n}; \log 10^{- 1} = - 1 = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} {(- 1)}^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{2 n + 1} จะเห็นได้ว่า 2 n + 1 เป็นจำนวนคี่เสมอ$
$แสดงว่า S_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1) หาผลบวก 100 พจน์แรกของอนุกรม S S_{100} = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1) = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{100} = \underset{100 ตัว}{\underset{⏟}{(- 1) + (- 1) + (- 1) + \dots + (- 1)}} = - 100 ข้อ (ค) ถูก$