ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 42

ค่าของ $\lim_{x \to 2} \frac{2^{x} + 2^{2 - x} - 5}{2^{- \frac{x}{2}} - 2^{1 - x}}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \lim_{x \to 2} \frac{2^{x} + 2^{2 - x} - 5}{2^{- \frac{x}{2}} - 2^{1 - x}}; แทน x = 2 จะได้ \lim_{x \to 2} \frac{2^{x} + 2^{2 - x} - 5}{2^{- \frac{x}{2}} - 2^{1 - x}} = \frac{2^{2} + 2^{0} - 5}{2^{- 1} - 2^{- 1}} = \frac{4 + 1 - 5}{2^{- 1} - 2^{- 1}} = \frac{0}{0}$

$ดังนั้น \lim_{x \to 2} \frac{2^{x} + 2^{2 - x} - 5}{2^{- \frac{x}{2}} - 2^{1 - x}} ยังหาค่าไม่ได้ ต้องจัดรูปก่อน (คูณ \frac{2^{x}}{2^{x}}) จะได้ \lim_{x \to 2} \frac{2^{x} + 2^{2 - x} - 5}{2^{- \frac{x}{2}} - 2^{1 - x}} = \lim_{x \to 2} \frac{(2^{x} + 2^{2 - x} - 5)}{2^{- \frac{x}{2}} - 2^{1 - x}} \times (\frac{2^{x}}{2^{x}}) = \lim_{x \to 2} \frac{2^{2 x} - 5 \cdot 2^{x} + 4}{2^{\frac{x}{2}} - 2}; คูณ \frac{2^{\frac{x}{2}} + 2}{2^{\frac{x}{2}} + 2}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{(2^{x} - 1) (2^{x} - 4)}{2^{\frac{x}{2}} - 2} \times (\frac{2^{\frac{x}{2}} + 2}{2^{\frac{x}{2}} + 2}) จาก (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2} จะได้ = \lim_{x \to 2} \frac{(2^{x} - 1) (2^{x} - 4) (2^{\frac{x}{2}} + 2)}{(2^{\frac{x}{2}})^{2} - {(2)}^{2}} = \lim_{x \to 2} \frac{(2^{x} - 1) (2^{x} - 4) (2^{\frac{x}{2}} + 2)}{2^{x} - 4} = \lim_{x \to 2} (2^{x} - 1) (2^{\frac{x}{2}} + 2); แทน x = 2$
$= (2^{2} - 1) (2^{\frac{2}{2}} + 2) = (3) (4) = 12 ดังนั้น \lim_{x \to 2} \frac{2^{x} + 2^{2 - x} - 5}{2^{- \frac{x}{2}} - 2^{1 - x}} = 12$