ข้อสอบ PAT1 - ตุลาคม 2559 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

$จากโจทย์ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} + a}{3^{n - 1}} = \frac{21}{2}; แทนค่า n = 1, 2, 3, 4, . . . จะได้ \frac{1^{2} + a}{3^{1 - 1}} + \frac{2^{2} + a}{3^{2 - 1}} + \frac{3^{2} + a}{3^{3 - 1}} + \frac{4^{2} + a}{3^{4 - 1}} + . . . = \frac{21}{2} \frac{1^{2} + a}{3^{0}} + \frac{2^{2} + a}{3^{1}} + \frac{3^{2} + a}{3^{2}} + \frac{4^{2} + a}{3^{3}} + . . . = \frac{21}{2} \frac{1 + a}{1} + \frac{4 + a}{3^{1}} + \frac{9 + a}{3^{2}} + \frac{16 + a}{3^{3}} + . . . = \frac{21}{2} \to 1; r = \frac{1}{3}$

$นำ 1 \times \frac{1}{3} \frac{1 + a}{3} + \frac{4 + a}{3^{2}} + \frac{9 + a}{3^{3}} + \frac{16 + a}{3^{4}} + . . . = \frac{21}{2} (\frac{1}{3}) \frac{1 + a}{3} + \frac{4 + a}{3^{2}} + \frac{9 + a}{3^{3}} + \frac{16 + a}{3^{4}} + . . . = \frac{7}{2} \to 2 นำ 1 - 2 \frac{1 + a}{1} + \frac{3}{3^{1}} + \frac{5}{3^{2}} + \frac{7}{3^{3}} + . . . = \frac{21}{2} - \frac{7}{2} \frac{1 + a}{1} + \frac{3}{3^{1}} + \frac{5}{3^{2}} + \frac{7}{3^{3}} + . . . = 7 \to 3; r = \frac{1}{3}$

$นำ 3 \times \frac{1}{3} \frac{1 + a}{3} + \frac{3}{3^{2}} + \frac{5}{3^{3}} + \frac{7}{3^{4}} + . . . = 7 (\frac{1}{3}) \frac{1 + a}{3} + \frac{3}{3^{2}} + \frac{5}{3^{3}} + \frac{7}{3^{4}} + . . . = \frac{7}{3} \to 4 นำ 3 - 4 (1 + a) + \frac{2 - a}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{2}{3^{3}} + \frac{2}{3^{4}} + . . . = 7 - \frac{7}{3} \frac{3 + 3 a}{3} + \frac{2 - a}{3} + \frac{2}{3^{2}} (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + . . .) = \frac{14}{3} \to a โดย 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + . . . เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์; a_{1} = 1, r = \frac{1}{3}$

$สูตรอนุกรมอนันต์ S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} จะได้ 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + . . . = \frac{3}{2}$

$จาก a จะได้ \frac{3 + 3 a}{3} + \frac{2 - a}{3} + \frac{2}{3^{2}} (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + . . .) = \frac{14}{3} \frac{2 a + 5}{3} + \frac{2}{3^{2}} (\frac{3}{2}) = \frac{14}{3} \frac{2 a + 5}{3} + \frac{1}{3} = \frac{14}{3} คูณ 3 ทั้ง 2 ข้าง; 2 a + 5 + 1 = 14 a = 4$