ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 17

ให้ $P$ เป็นพาราโบลาซึ่งมีสมการเป็น $x^{2} + 8 x + 4 y + 12 = 0$ ถ้า $H$ เป็นไฮเพอร์โบลาที่มีแกนตามขวางขนานกับแกน $y$ มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของ $P$ ระยะทางระหว่างโฟกัสทั้งสองของ $H$ เท่ากับ $4 \sqrt{13}$ หน่วย และเส้นกำกับเส้นหนึ่งของ $H$ ขนานกับเส้นตรง $2 x - 3 y - 2 = 0$ แล้วสมการของไฮเพอร์โบลา $H$ รูปนี้ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$9 y^{2} - 4 x^{2} - 32 x - 18 y - 109 = 0$
2
$9 y^{2} - 4 x^{2} + 32 x - 18 y - 109 = 0$
3
$9 y^{2} - 4 x^{2} - 32 x + 18 y - 109 = 0$
4
$9 y^{2} - 4 x^{2} - 32 x - 18 y - 199 = 0$
5
$9 y^{2} - 4 x^{2} - 32 x + 18 y + 109 = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรสมการพาราโบลา {(x - h)}^{2} = 4 c (y - k) \to 1 จากโจทย์ P เป็นพาราโบลาซึ่งมีสมการเป็น x^{2} + 8 x + 4 y + 12 = 0; จัดรูปสมการ x^{2} + 8 x = - 4 y - 12; + 16 ทั้ง 2 ข้าง x^{2} + 8 x + 16 = - 4 y - 12 + 16 {(x + 4)}^{2} = - 4 y + 4 {(x + 4)}^{2} = - 4 (y - 1)$
$จาก 1 จะได้ (h, k) = (- 4, 1) \to จุดยอดของ P จากโจทย์ H เป็นไฮเพอร์โบลาที่มีแกนตามขวางขนานกับแกน y มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของ P จะได้ จุดศูนย์กลางของ H = (h, k) = (- 4, 1)$

$จากโจทย์ - ระยะทางระหว่างโฟกัสทั้งสองของ H เท่ากับ 4 \sqrt{13} หน่วย จะได้ 2 c = 4 \sqrt{13} c = 2 \sqrt{13} - เส้นกำกับเส้นหนึ่งของ H ขนานกับเส้นตรง 2 x - 3 y - 2 = 0 จะได \frac{a}{b} = \frac{2}{3} a = \frac{2}{3} b \to 2 ลองวาดรูปไฮเพอร์โบลา (แกนตามขวางขนานกับแกน y)$

$สูตรไฮเพอร์โบลา c^{2} = a^{2} + b^{2} {(2 \sqrt{13})}^{2} = {(\frac{2}{3} b)}^{2} + b^{2} 52 = \frac{4}{9} b^{2} + b^{2} b^{2} = 36 b = 6; แทนใน 2 จะได้ a = \frac{2}{3} (6) a = 4$

$สูตรสมการไฮเพอร์โบลา H \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1 โดย (h, k) = (- 4, 1), a = 4, b = 6 จะได้ \frac{{(y - 1)}^{2}}{4^{2}} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{6^{2}} = 1 \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{36} = 1; คูณ 144 ทั้ง 2 ข้าง$
$9 {(y - 1)}^{2} - 4 {(x + 4)}^{2} = 144 9 (y^{2} - 2 y + 1) - 4 (x^{2} + 8 x + 16) = 144 9 y^{2} - 4 x^{2} - 32 x - 18 y - 199 = 0 สมการของไฮเพอร์โบลา H คือ 9 y^{2} - 4 x^{2} - 32 x - 18 y - 199 = 0$