ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{F} \mathrm{เป็นโฟกัสของพาราโบลา} 4\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+13 \\ \mathbf{พิจารณา} 4\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+13 \\ 4\mathrm{y}-13={\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x} \\ 4\mathrm{y}-13+9={\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+9 \\ 4\mathrm{y}-4={\left(\mathrm{x}-3\right)}^2 \\ {\left(\mathrm{x}-3\right)}^2=4\left(\mathrm{y}-1\right) \\ {\left(\mathrm{x}-3\right)}^2=4\left(1\right)\left(\mathrm{y}-1\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{สมการพาราโบลา} {\left(\mathrm{x}-\mathrm{h}\right)}^2=4\mathrm{c}\left(\mathrm{y}-\mathrm{k}\right) \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{พาราโบลามีแกนสมมาตรขนาน} \hspace{0.17em}\mathrm{y} \\ \mathrm{เป็นกราฟหงาย} \mathrm{เพราะ} \mathrm{c}=\pm 1 \\ \mathrm{จุดยอด} \left(\mathrm{h},\mathrm{k}\right)=\left(3,1\right) \\ \mathrm{จุดโฟกัส} \left(\mathrm{h},\mathrm{k}+\mathrm{c}\right)=\left(3,1+1\right)=\left(3,2\right) \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ถ้าไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีสมบัติดังนี้} \\ \mathrm{ก}) \mathrm{แกนตามขวางขนานแกน} \mathrm{y} \\ \mathrm{แสดงว่า} \frac{{\left(\mathrm{y}-\mathrm{k}\right)}^2}{{\mathrm{a}}^2}-\frac{{\left(\mathrm{x}-\mathrm{h}\right)}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1 \\ \mathrm{ข}) \mathrm{จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาอยู๋ที่} \mathrm{F} \\ \mathrm{แสดงว่า} \left(\mathrm{h},\mathrm{k}\right)=\left(3,2\right) \\ \mathrm{ค}) \mathrm{โฟกัสหนึ่งของไฮเพอร์โบลาคือ} \left(3,2+2\sqrt{13}\right) \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{F}\left(3,2+2\sqrt{13}\right)\to \mathrm{c}=2\sqrt{13} \\ \mathrm{ง}) \mathrm{แกนสังยุคยาว} 12 \mathrm{หน่วย} \\ \mathrm{แสดงว่า} 2\mathrm{b}=12\to \mathrm{b}=6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} {\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2 \\ {\mathrm{a}}^2={\mathrm{c}}^2-{\mathrm{b}}^2 \\ ={\left(2\sqrt{13}\right)}^2-6^2 \\ =52-36 \\ =16 \\ \mathrm{a}=4 \\ \mathrm{แสดงว่า} \left(\mathrm{h},\mathrm{k}\right)=\left(3,2\right) , \mathrm{a}=4 , \mathrm{b}=6 \\ \mathrm{สมการไฮเพอร์โบลา} \frac{{\left(\mathrm{y}-\mathrm{k}\right)}^2}{{\mathrm{a}}^2}-\frac{{\left(\mathrm{x}-\mathrm{h}\right)}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1 \\ \frac{{\left(\mathrm{y}-2\right)}^2}{4^2}-\frac{{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2}{6^2}=1 \\ \frac{{\left(\mathrm{y}-2\right)}^2}{16}-\frac{{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2}{36}=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} 36{\left(\mathrm{y}-2\right)}^2-16{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2=36\left(16\right) \\ 36\left({\mathrm{y}}^2-4\mathrm{y}+4\right)-16\left({\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+9\right)=576 \\ 36{\mathrm{y}}^2-144\mathrm{y}+144-16{\mathrm{x}}^2+96\mathrm{x}-144=576 \\ 36{\mathrm{y}}^2-144\mathrm{y}-16{\mathrm{x}}^2+96\mathrm{x}-576=0 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathrm{หารทั้งสมการด้วย} 4 \\ \mathrm{จะได้} 9{\mathrm{y}}^2-4{\mathrm{x}}^2-36\mathrm{y}+24\mathrm{x}-144=0 \\ \mathrm{คูณทั้งสมการด้วย} -1 \\ \mathrm{จะได้} 4{\mathrm{x}}^2-9{\mathrm{y}}^2-24\mathrm{x}+36\mathrm{y}+144=0 \\ \mathrm{ดังนั้น} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{ไฮเพอร์โบลามีสมการ} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}4{\mathrm{x}}^2-9{\mathrm{y}}^2-24\mathrm{x}+36\mathrm{y}+144=0 \end{gathered}$$