ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 45

ให้ $A$ แทนเซตของจำนวน $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$ โดยที่ $a, b, c, d$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีสมบัติ ดังนี้

(ก) $a = b + d$

(ข) $(a + b + c + d) b = (a - c) d$

(ค) $2 + c d = a (c - 1)$

ถ้า $M$ แทนค่ามากที่สุดในเซต $A$ และ $m$ แทนค่าน้อยที่สุดในเซต $A$ แล้วค่า $M - m$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ (ข) (a + b + c + d) b = (a - c) d [a + c + (b + d)] b = (a - c) d จาก (ก) a = b + d; (a + c + a) b = (a - c) d 2 ab + bc = ad - cd 2 ab + bc + cd = ad 2 ab + c (b + d) = ad 2 ab + ca = ad 2 b + c = d \to 1$

$จากโจทย์ (ค) 2 + cd = a (c - 1) จาก (ก) a = b + d; 2 + cd = (b + d) (c - 1) 2 + cd = bc - b + cd - d 2 = bc - b - d จาก 1 2 b + c = d; 2 = bc - b - (2 b + c) 2 = bc - 3 b - c บวก 3 ทั้ง 2 ข้าง; 2 + 3 = b (c - 3) - c + 3 5 = b (c - 3) - (c - 3) 5 = (b - 1) (c - 3)$

$แบ่งได้ 2 กรณี กรณี 1 b - 1 = 5, c - 3 = 1 b = 6, c = 4 จาก 1 2 b + c = d 2 (6) + 4 = d d = 16 จาก ก a = b + d a = 6 + 16 a = 22$

$แสดงว่า a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 484 + 36 + 16 + 256 = 792$

$กรณี 2 b - 1 = 1, c - 3 = 5 b = 2, c = 8 จาก 1 2 b + c = d 2 (2) + 8 = d d = 12 จาก ก a = b + d a = 2 + 12 a = 14$

$แสดงว่า a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 196 + 4 + 64 + 144 = 408 จากโจทย์ M แทนค่ามากที่สุดในเซต A และ m แทนค่าน้อยที่สุด จะได้ M = 792 m = 408 ดังนั้น M - m = 792 - 408 = 384$