ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 23

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ $\log_{2} x + \log_{4} x + \log_{8} x + \log_{16} x - 2 \log_{64} x = 7$
แล้ว $x$ สอดคล้องกับสมการ $x - 3 \sqrt{x} = 4$

(ข) ถ้า $a, b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ
$(1 - a) \log_{3} 2 = 2 - \log_{3} 5$
$(3 + b) \log_{5} 2 = 2 - \log_{5} 3$ และ
$(3 + c) \log_{7} 2 = 4 \log_{7} 3 - \log_{7} 5$
แล้ว $2 a + b - c = 2 + 5 \log_{2} 5 - 9 \log_{2} 3$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร \log_{N} M = \frac{\log_{C} M}{\log_{C} N} เมื่อ M, N, C เป็นค่าคงตัว$

$พิจารณา (ก) จากโจทย์ \log_{2} x + \log_{4} x + \log_{8} x + \log_{16} x - 2 \log_{64} x = 7 จะได้ \frac{\log x}{\log 2} + \frac{\log x}{\log 4} + \frac{\log x}{\log 8} + \frac{\log x}{\log 16} - \frac{2 \log x}{\log 64} = 7 \log x (\frac{1}{\log 2} + \frac{1}{\log 4} + \frac{1}{\log 8} + \frac{1}{\log 16} - \frac{2}{\log 64}) = 7 \log x (\frac{1}{\log 2} + \frac{1}{\log 2^{2}} + \frac{1}{\log 2^{3}} + \frac{1}{\log 2^{4}} - \frac{2}{\log 2^{6}}) = 7 \log x (\frac{1}{\log 2} + \frac{1}{2 \log 2} + \frac{1}{3 \log 2} + \frac{1}{4 \log 2} - \frac{2}{6 \log 2}) = 7$

$\frac{\log x}{\log 2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{2}{6}) = 7 \log x (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{2}{6}) = 7 \log 2 \frac{7}{4} \log x = 7 \log 2 \frac{1}{4} \log x = \log 2$
$\log x^{\frac{1}{4}} = \log 2 x^{\frac{1}{4}} = 2 (x^{\frac{1}{4}})^{4} = 2^{4} x = 16$

$จากโจทย์ x สอดคล้องกับสมการ x - 3 \sqrt{x} = 4 แทน x = 16 จะได้ 16 - 3 \sqrt{16} = 4 16 - 3 (4) = 4 4 = 4 ดังนั้น ข้อ (ก) ถูก$

$พิจารณา (ข) จากโจทย์ (1 - a) \log_{3} 2 = 2 - \log_{3} 5 (1 - a) \frac{\log 2}{\log 3} = 2 - \log_{3} 5 1 - a = \frac{\log 3}{\log 2} (2 - \log_{3} 5) 1 - a = 2 \log_{2} 3 - \frac{\log 3}{\log 2} \cdot \frac{\log 5}{\log 3}$
$1 - a = 2 \log_{2} 3 - \log_{2} 5 a = 1 - 2 \log_{2} 3 + \log_{2} 5$

$จากโจทย์ (3 + b) \log_{5} 2 = 2 - \log_{5} 3 (3 + b) \frac{\log 2}{\log 5} = 2 - \log_{5} 3 3 + b = \frac{\log 5}{\log 2} (2 - \log_{5} 3) 3 + b = 2 \frac{\log 5}{\log 2} - (\frac{\log 5}{\log 2}) (\frac{\log 3}{\log 5}) 3 + b = 2 \log_{2} 5 - \log_{2} 3 b = 2 \log_{2} 5 - \log_{2} 3 - 3$

$จากโจทย์ (3 + c) \log_{7} 2 = 4 \log_{7} 3 - \log_{7} 5 (3 + c) \frac{\log 2}{\log 7} = 4 \log_{7} 3 - \log_{7} 5 3 + c = 4 \frac{\log 7}{\log 2} \cdot \frac{\log 3}{\log 7} - \frac{\log 7}{\log 2} \cdot \frac{\log 5}{\log 7} c = 4 \log_{2} 3 - \log_{2} 5 - 3$

$แสดงว่า 2 a + b - c = 2 (1 - 2 \log_{2} 3 + \log_{2} 5) + (2 \log_{2} 5 - \log_{2} 3 - 3) - (4 \log_{2} 3 - \log_{2} 5 - 3) = 2 - 4 \log_{2} 3 + 2 \log_{2} 5 + 2 \log_{2} 5 - \log_{2} 3 - 3 - 4 \log_{2} 3 + \log_{2} 5 + 3 = 2 - 9 \log_{2} 3 + 5 \log_{2} 5 2 a + b - c = = 2 - 9 \log_{2} 3 + 5 \log_{2} 5 ดังนั้น ข้อ (ข) ถูก$